Um recipiente de dois litros de capacidade, mantido a
, contém Ne
Massa molar
. O recipiente possui um orifício de
de raio por onde as moléculas do gás podem escapar. Calcule o tempo necessário para que as colisões
se reduzam à metade do valor original supondo que as moléculas que abandonam o recipiente não mais retornam ao mesmo.
Passo 1
Beleza, o enunciado está assim: temos um frasco de 2 L com gás Ne (massa molar M = 20,18 g/mol) a 27 °C, que tem um buraquinho de raio 0,12 mm. As moléculas escapam e não voltam mais. Precisamos achar em quanto tempo as colisões Ne–Ne dentro do frasco caem para metade do valor original.
Conteúdo: teoria cinética dos gases (velocidade média, escoamento/efusão) e relação entre número de moléculas e taxa de colisão. Vamos precisar da fórmula de vazão de efusão, da distribuição de velocidades, e da ideia de que colisões ∝ N².
Conteúdo: teoria cinética dos gases (velocidade média, escoamento/efusão) e relação entre número de moléculas e taxa de colisão. Vamos precisar da fórmula de vazão de efusão, da distribuição de velocidades, e da ideia de que colisões ∝ N².
Passo 2
Primeiro, vamos achar a velocidade média das moléculas de Ne a 27 °C (300 K). Na teoria cinética, a velocidade média é
onde
– R = 8,314 J/(mol·K)
– T = 300 K
– M = 0,02018 kg/mol
Então
– R = 8,314 J/(mol·K)
– T = 300 K
– M = 0,02018 kg/mol
Então
Passo 3
Agora, a taxa de saída (fluxo) de moléculas por efusão é dada por
sendo n = N/V a densidade, e A a área do orifício.
– Raio r = 0,12 mm = 1,2×10⁻⁴ m, logo
– Raio r = 0,12 mm = 1,2×10⁻⁴ m, logo
– Volume V = 2 L = 2×10⁻³ m³.
Passo 4
Se N é o número de moléculas, dN/dt = –Φ = –(N/V)(\bar v A/4). Isso é uma equação diferencial simples
Vamos calcular k:
Passo 5
A solução é decaimento exponencial:
Mas a taxa total de colisões Ne–Ne dentro do frasco é proporcional a
(pois você escolhe dois pares dentre N moléculas). Queremos que essa taxa caia para a metade, ou seja
Logo
Passo 6
Substituindo k = 3,17×10⁻³ s⁻¹:
Resposta
O tempo necessário é aproximadamente 1,8 minutos (≈ 110 s).