Um recipiente de dois litros de capacidade, mantido a 27^circ C, contém Ne ( Massa molar =20,18 g cdot mol^-1). O recipiente possui um orifício de 0,12 mm de raio por onde as moléculas do gás podem escapar. Calcule o tempo necessário para que as colisões Ne-Ne se reduzam à metade do valor original supondo que as moléculas que abandonam o recipiente não mais retornam ao mesmo.

Passo 1

Beleza, o enunciado está assim: temos um frasco de 2 L com gás Ne (massa molar M = 20,18 g/mol) a 27 °C, que tem um buraquinho de raio 0,12 mm. As moléculas escapam e não voltam mais. Precisamos achar em quanto tempo as colisões Ne–Ne dentro do frasco caem para metade do valor original.
Conteúdo: teoria cinética dos gases (velocidade média, escoamento/efusão) e relação entre número de moléculas e taxa de colisão. Vamos precisar da fórmula de vazão de efusão, da distribuição de velocidades, e da ideia de que colisões ∝ N².

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade média das moléculas de Ne a 27 °C (300 K). Na teoria cinética, a velocidade média é
bar v = raiz8RTpi M
onde
– R = 8,314 J/(mol·K)
– T = 300 K
– M = 0,02018 kg/mol
Então
bar v = raiz8 cdot 8,314 cdot 300pi cdot 0,02018 approx 561,3 m/s

Passo 3

Agora, a taxa de saída (fluxo) de moléculas por efusão é dada por
Phi = n,bar v,A4,
sendo n = N/V a densidade, e A a área do orifício.
– Raio r = 0,12 mm = 1,2×10⁻⁴ m, logo
A = pi r^2 = pi (1,2times10^-4)^2 approx 4,52times10^-8,m^2
– Volume V = 2 L = 2×10⁻³ m³.

Passo 4

Se N é o número de moléculas, dN/dt = –Φ = –(N/V)(\bar v A/4). Isso é uma equação diferencial simples
dNdt = -k,N, k = bar v,A4V
Vamos calcular k:
k = 561,3 rm m/stimes4,52times10^-8 rm m^24times2times10^-3 rm m^3 approx 3,17times10^-3 s^-1

Passo 5

A solução é decaimento exponencial:
N(t) = N0,e^-k t
Mas a taxa total de colisões Ne–Ne dentro do frasco é proporcional a l[N(t)r]^2 = tfrac12,l[N0r]^2 ;Longrightarrow; N(t) = N0raiz2 (pois você escolhe dois pares dentre N moléculas). Queremos que essa taxa caia para a metade, ou seja
e^-k t = 1raiz2 ;Longrightarrow; -k t = ln1raiz2 = -tfrac12ln2 ;Longrightarrow; t = ln22,k
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Passo 6

Substituindo k = 3,17×10⁻³ s⁻¹:
t = 0,69312times3,17times10^-3 approx 109,2 s

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 1,8 minutos (≈ 110 s).

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