Um recipiente fechado na forma de um sólido retangular deve ter um comprimento interno de 8 m , uma largura interna de 5 m , uma altura de 4 m e uma espessura de 4 cm . Use a diferencial para aproximar a quantidade de material necessário para construir o recipiente. R: 7 , 3 6 m^3

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o volume de material usado num recipiente fechado em forma de paralelepípedo, de dimensões internas l=8 m, w=5 m e h=4 m, e com espessura das paredes t=4 cm. O conteúdo é usar diferenciais na função V(l,w,h)=lwh para estimar a variação de volume quando cada dimensão cresce em 2t.

Passo 2

A diferencial do volume é dada por
dV ;=; partial Vpartial l,dl ;+; partial Vpartial w,dw ;+; partial Vpartial h,dh ;=; wh,dl ;+; lh,dw ;+; lw,dh

Passo 3

Como a espessura t=0,04 m afeta cada aresta em duas faces opostas, temos
dl=dw=dh=2t=2cdot0,04=0,08 m

Passo 4

Agora avaliamos cada termo em (l,w,h)=(8,5,4):
wh,dl=(5cdot4)cdot0,08=20cdot0,08=1,6,
lh,dw=(8cdot4)cdot0,08=32cdot0,08=2,56,
lw,dh=(8cdot5)cdot0,08=40cdot0,08=3,2
Somando,
dV=1,6+2,56+3,2=7,36 m^3

Resposta

A quantidade de material necessária é aproximadamente 7,36 m^3.

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