Calcule a área das regiões delimitadas pelas curvas dadas. Escolha segundo sua observação qual o melhor método de integração em relação a x ou a y.
x=1-y^2, x=y^2-1

Passo 1

O enunciado dá duas parábolas em função de y:
x = 1 - y^2
e
x = y^2 - 1
e pede a área da região compreendida entre elas. Como ambas estão escritas como x = f(y), o método mais direto é integrar em relação a y, usando fatias horizontais cuja largura em x é a diferença entre a curva da direita e a da esquerda.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção, resolvendo
1 - y^2 = y^2 - 1
Reagrupando,
2y^2 = 2 Longrightarrow y^2 = 1 Longrightarrow y = pm 1
Logo a região vai de y=-1 até y=1.

Passo 3

Escrever o integral da área. Para cada y em [-1,1], a “largura” é
xdireita - xesquerda = l(1 - y^2r) - l(y^2 - 1r) = 2 - 2y^2
Portanto,
Área = integraly=-1^1l[,2 - 2y^2r],dy Á

Passo 4

Calcular o integral:
integral-1^1(2 - 2y^2),dy = 2integral-1^1(1 - y^2),dy
Sabemos que
integral-1^11,dy = 2, integral-1^1y^2,dy = 23,
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integral-1^1(1 - y^2),dy = 2 - 23 = 43
Multiplicando por 2
Área = 2cdot43 = 83 Á

Resposta

83

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