Um recipiente em forma de cilindro reto de raio interno com 8 cm de comprimento e altura interna de 17 cm contém determinada quantidade de água. Nesse recipiente foi colocado um prisma reto com volume igual a 525 \mathrm{~cm}^{3} e altura igual a 21 cm . Com isso, a água encheu-o totalmente, sem transbordar. Sabendo que a base do prisma ficou totalmente apoiada no recipiente, calculem a altura do nível da água antes de o prisma ser colocado em seu interior.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro reto de raio interno 8,cm e altura interna 17,cm que contém inicialmente certa altura de água h. Em seguida coloca-se dentro do cilindro um prisma reto de volume 525,cm ^3 e altura 21,cm, apoiado totalmente na base do cilindro, de modo que a água subiu até encher o cilindro completamente (altura 17,cm), sem transbordar. Vamos usar deslocamento de volume e conservação de volume para achar h.

Passo 2

Calcular a área da base do prisma. Como o volume do prisma é dado por área da base vezes altura, temos
A_\text{prisma}\times21 = 525
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A_\text{prisma} = \frac{525}{21} = 25\quad\text{(cm}^2\text{)}.

Passo 3

Quando o prisma entra no cilindro, ele desloca um volume de água igual à sua área de base vezes a altura em que fica submerso. Como o cilindro tem altura total 17,cm, o prisma fica submerso nessa altura inteira e desloca
V_\text{deslocado} = A_\text{prisma}\times17 = 25\times17 = 425\quad\text{(cm}^3\text{)}.

Passo 4

O volume total de água após colocar o prisma é igual à capacidade total do cilindro, que é
V_\text{cil} = \pi\cdot8^2\cdot17 = 64\pi\cdot17 = 1088\pi\quad\text{(cm}^3\text{)}.
Esse volume final é a soma do volume inicial de água mais o volume deslocado pelo prisma:
V_\text{inicial} + V_\text{deslocado} = V_\text{cil}.

Passo 5

O volume inicial de água é a área da base do cilindro vezes h, isto é,
V_\text{inicial} = \pi\cdot8^2\;h = 64\pi\,h.
Assim,
64\pi\,h + 425 = 1088\pi
64\pi\,h = 1088\pi - 425
h = \frac{1088\pi - 425}{64\pi} = 17 - \frac{425}{64\pi}\quad\text{(cm)}.

Resposta

h = 17 - \frac{425}{64\pi}\approx 14,89\text{ cm}.

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