O cilindro circular reto equilátero (em que a altura é igual ao diâmetro da base) tem a seguinte propriedade: entre todos os cilindros de mesmo volume é o que tem menor área total. Uma empresa pretende comercializar o seu produto em embalagens em forma de cilindro reto equilátero com capacidade para 400 mL . Calcule as dimensões aproximadas da embalagem para que o custo de sua produção seja o menor possível.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões (raio da base e altura) de um cilindro circular reto equilátero (ou seja, altura igual ao diâmetro da base) que tenha volume de 400,mL, sabendo que tal cilindro minimiza a área total para esse volume. O que vamos usar é a fórmula do volume de um cilindro e a relação entre altura e raio neste caso.

Passo 2

Seja r o raio da base e h a altura. Como o cilindro é equilátero,
h = 2r.

Passo 3

O volume de um cilindro é dado por
V = \pi r^2\,h.
Substituindo h=2r e V=400,mL 1,mL =\!1,cm ^3,
400 = \pi r^2\,(2r) \quad\Longrightarrow\quad 400 = 2\pi r^3 \quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{400}{2\pi} = \frac{200}{\pi}.

Passo 4

Logo,
r = \sqrt[3]{\frac{200}{\pi}}.
Calculando numericamente,
\frac{200}{\pi}\approx63{,}662\quad\Longrightarrow\quad r\approx\sqrt[3]{63{,}662}\approx4{,}00\text{ cm}.

Passo 5

A altura é
h = 2r \approx 2\cdot4{,}00 = 8{,}00\text{ cm}.

Resposta

Raio da base r \approx 4{,}00 cm
Altura h \approx 8{,}00 cm

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