Determine a área da superfície externa de um recipiente cilíndrico, sabendo que seu volume é 48 \pi \mathrm{~cm}^{3} e o comprimento do raio da base do recipiente é \frac{1}{6} da altura.

Passo 1

O enunciado dá um recipiente cilíndrico cuja altura h e raio da base r satisfazem
r = \tfrac{1}{6}\,h
e cujo volume é
V = 48\pi\text{ cm}^3.
O conteúdo aqui é Geometria espacial: usaremos a fórmula do volume de um cilindro e depois a fórmula da área da superfície externa (lateral mais fundo, já que o recipiente é aberto em cima).

Passo 2

A fórmula do volume de um cilindro é
V = \pi\,r^2\,h.
Substituindo V=48\pi e h=6r (pois r=\frac{1}{6}h implica h=6r), obtemos
48\pi = \pi\,r^2\,(6r) \quad\Longrightarrow\quad 48 = 6\,r^3 \quad\Longrightarrow\quad r^3 = 8 \quad\Longrightarrow\quad r = 2\text{ cm}.

Passo 3

Com r=2\text{ cm} e h=6r, vem
h = 6\cdot 2 = 12\text{ cm}.

Passo 4

Como o recipiente é aberto em cima, a superfície externa inclui só a lateral e o fundo.
A área lateral é
A_{\rm lat} = 2\pi\,r\,h,
e a área do fundo é
A_{\rm fundo} = \pi\,r^2.
Logo a área externa total é
A = A_{\rm lat} + A_{\rm fundo} = 2\pi\,(2)\,(12) + \pi\,(2)^2 = 48\pi + 4\pi = 52\pi\text{ cm}^2.

Resposta

\displaystyle 52\pi\text{ cm}^2

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