- Um recipiente industrial tem a forma de um cilindro com extremidades hemisféricas. O recipiente deve conter 1000 litros de fluido. Determine o raio
e o comprimento
que minimizam a quantidade de material usada na construção do tanque.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- O recipiente tem a forma de um cilindro com duas extremidades hemisféricas (uma em cada lado).
- Deve conter
litros de fluido, isto é, . - Devemos determinar o raio
e o comprimento (altura) do corpo cilíndrico que minimizam a quantidade de material usada na construção do tanque (ou seja, que minimizam a área superficial do tanque), respeitando o volume fixo de .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Volume total fixo:
. - Forma geométrica: cilindro de raio
e altura mais duas metades de esfera (duas hemisférios) de raio .
Passo 2
Modelagem matemática: escrevemos fórmulas para o volume e para a área (quantidade de material).
Primeiro, as fórmulas que vamos usar (explicando o que é cada termo):
- Volume do cilindro (apenas a parte cilíndrica):
, onde é o raio da base e é a altura do cilindro. - Volume de uma esfera de raio
: . Como o tanque tem duas hemisférios, o volume das duas juntas é exatamente o volume de uma esfera inteira, ou seja . - Volume total (restrição) então é a soma do cilindro com as duas hemisférias:
- Área (quantidade de material) relevante: não contamos as bases planas (não existem aqui), apenas a superfície lateral do cilindro mais as superfícies das duas hemisférias. A área lateral do cilindro é
. A área de uma esfera de raio é ; novamente, duas hemisférias juntas têm área igual à de uma esfera inteira. Assim a área total a minimizar é
Resumo: estamos minimizando
sujeito à restrição
com
.
Passo 3
Eliminar
usando a restrição (para ficar com uma função de uma variável
).
Da restrição temos:
Isolando
:
Substituímos esse
em
:
Agora fazemos a simplificação passo a passo:
-
(pois cancela e sobra ). -
.
Assim
Portanto reduzimos o problema para minimizar a função de uma variável
com
. (Aqui explicando: a primeira parcela
vem do fato de que para manter volume fixo um raio maior reduz a altura necessária, e a segunda parcela
é a contribuição da curvatura das extremidades.)
Passo 4
Encontrar o ponto crítico: derivamos
em relação a
e igualamos a zero.
Derivada de
em relação a
: usar que
. Logo
Derivada de
é
.
Assim
Igualando a zero para achar extremos:
Multiplicando por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Observação importante (favor prestar atenção): a igualdade
significa que o volume total requerido
é exatamente o volume de uma esfera de raio
. Isso implica, ao retornar à restrição
, que necessariamente
e portanto
Ou seja, o cilindro desaparece e as duas hemisférias formam uma esfera inteira.
Agora encontramos
explicitamente usando
:
Com
:
Valor numérico aproximado:
Passo 5
Verificação de mínimo (teste da segunda derivada) e interpretação física:
- Segunda derivada:
Para
e
essa expressão é positiva, logo a função
é convexa e o ponto crítico encontrado é realmente um mínimo. Portanto a solução dá a área mínima.
Interpretação física/geométrica: o resultado indica que, dentro da família de recipientes formados por um cilindro com duas hemisférias finais, a menor quantidade de material para um volume fixo ocorre quando o cilindro some (
) e o tanque é uma esfera perfeita. Isso está de acordo com o princípio geométrico mais geral (a esfera minimiza a área superficial para dado volume).