Um corpo em movimento harmônico simples de período 1,0 s tem energia total igual a 16,0 \mathrm{~J}. Se sua massa é igual a 2,0 \mathrm{~kg}, então sua aceleração máxima, em \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, é de intensidade igual a

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única grandeza:
  • Período: T=1,0\\ \mathrm{s}.
  • Energia total do movimento harmônico simples: E=16,0\\ \mathrm{J}.
  • Massa do corpo: m=2,0\\ \mathrm{kg}.
    Pergunta: qual é a intensidade da aceleração máxima (ou seja, o valor de a_{\max}) em \mathrm{m/s^2}?

Passo 2

Vamos listar as fórmulas essenciais do movimento harmônico simples (vou explicar cada uma devagarinho).
  • A aceleração instantânea num MAS (movimento harmônico simples) é proporcional à posição: a(t) = -\omega^2 x(t).
Aqui \omega é a frequência angular (em rad/s) e x(t) é a posição instantânea. O sinal menos indica que a aceleração aponta para o ponto de equilíbrio.
  • A aceleração máxima em módulo ocorre quando |x|=A (amplitude). Então a aceleração máxima em módulo é
a_{\max} = \omega^2 A.
Explicando: \omega^2 tem dimensões de 1/\mathrm{s}^2, multiplicado por A (metros) dá \mathrm{m/s^2}, coerente com aceleração.

Passo 3

Agora a energia total num MAS. A energia total E é constante e igual à energia potencial máxima (ou à energia cinética máxima). A expressão que vamos usar é
E = \frac{1}{2} k A^2,
onde k é a constante elástica do sistema e A é a amplitude. Mas nem sempre conhecemos k; é mais prático usar \omega e m. A relação entre k e \omega é
\omega^2 = \frac{k}{m}\quad\Longrightarrow\quad k = m\omega^2.
Substituindo em E,
E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2.
Aqui cada símbolo significa:
  • E: energia total (J),
  • m: massa (kg),
  • \omega: frequência angular (rad/s),
  • A: amplitude (m).

Passo 4

Objetivo imediato: achar a_{\max}=\omega^2 A. Pela expressão de energia, podemos isolar A. Da equação
E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2,
temos
A^2 = \frac{2E}{m\omega^2}.
Portanto
A = \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}.
Substituindo em a_{\max}=\omega^2 A teremos uma expressão em \omega, E e m só.

Passo 5

Resolver a expressão para a_{\max}. Substituindo A em a_{\max}:
a_{\max} = \omega^2 \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}.
Simplificamos a raiz: dentro dela tem um \omega^2 no denominador, então
a_{\max} = \omega^2 \cdot \sqrt{\frac{2E}{m}} \cdot \frac{1}{\omega} = \omega \sqrt{\frac{2E}{m}}.
Então chegamos a uma fórmula útil e direta:
a_{\max} = \omega \sqrt{\frac{2E}{m}}.
Explicando a manipulação: \sqrt{1/\omega^2}=1/\omega, por isso um fator \omega sobra.

Passo 6

Agora precisamos do valor numérico de \omega. A relação entre período T e frequência angular \omega é
\omega = \frac{2\pi}{T}.
Com T=1,0\\ \mathrm{s},
\omega = \frac{2\pi}{1,0} = 2\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Calcular a expressão numérica. Usando \omega=2\pi, E=16,0\\ \mathrm{J} e m=2,0\\ \mathrm{kg}, aplicamos
a_{\max} = \omega \sqrt{\frac{2E}{m}}.
Primeiro calculemos o radical:
\frac{2E}{m} = \frac{2\cdot 16,0}{2,0} = \frac{32,0}{2,0} = 16,0.
Então \sqrt{\dfrac{2E}{m}} = \sqrt{16,0} = 4,0.
Agora
a_{\max} = \omega \cdot 4,0 = (2\pi)\cdot 4,0 = 8\pi.

Passo 8

Converter para valor decimal aproximado para ficar mais prático. Sabendo que \pi\approx3,14159,
a_{\max} = 8\pi \approx 8\times 3,14159 \approx 25,1327\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) dá 25,13\\ \mathrm{m/s^2}. Para provas, frequentemente 25,1\\ \mathrm{m/s^2} ou 25\\ \mathrm{m/s^2} já aparecem como alternativas — mas vou deixar o valor com duas casas decimais.

Resposta

a_{\max}=8\pi\\ \mathrm{m/s^2}
a_{\max}\approx25,13\\ \mathrm{m/s^2}

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