Um corpo em movimento harmônico simples de período 1,0 s tem energia total igual a
. Se sua massa é igual a
, então sua aceleração máxima, em
, é de intensidade igual a
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única grandeza:
- Período:
. - Energia total do movimento harmônico simples:
. - Massa do corpo:
.
Pergunta: qual é a intensidade da aceleração máxima (ou seja, o valor de) em ?
Passo 2
Vamos listar as fórmulas essenciais do movimento harmônico simples (vou explicar cada uma devagarinho).
- A aceleração instantânea num MAS (movimento harmônico simples) é proporcional à posição:
Aqui
é a frequência angular (em rad/s) e
é a posição instantânea. O sinal menos indica que a aceleração aponta para o ponto de equilíbrio.
- A aceleração máxima em módulo ocorre quando
(amplitude). Então a aceleração máxima em módulo é
Explicando:
tem dimensões de
, multiplicado por
(metros) dá
, coerente com aceleração.
Passo 3
Agora a energia total num MAS. A energia total
é constante e igual à energia potencial máxima (ou à energia cinética máxima). A expressão que vamos usar é
onde
é a constante elástica do sistema e
é a amplitude. Mas nem sempre conhecemos
; é mais prático usar
e
. A relação entre
e
é
Substituindo em
,
Aqui cada símbolo significa:
-
: energia total (J), -
: massa (kg), -
: frequência angular (rad/s), -
: amplitude (m).
Passo 4
Objetivo imediato: achar
. Pela expressão de energia, podemos isolar
. Da equação
temos
Portanto
Substituindo em
teremos uma expressão em
,
e
só.
Passo 5
Resolver a expressão para
. Substituindo
em
:
Simplificamos a raiz: dentro dela tem um
no denominador, então
Então chegamos a uma fórmula útil e direta:
Explicando a manipulação:
, por isso um fator
sobra.
Passo 6
Agora precisamos do valor numérico de
. A relação entre período
e frequência angular
é
Com
,
Passo 7
Calcular a expressão numérica. Usando
,
e
, aplicamos
Primeiro calculemos o radical:
Então
.
Agora
Agora
Passo 8
Converter para valor decimal aproximado para ficar mais prático. Sabendo que
,
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) dá
. Para provas, frequentemente
ou
já aparecem como alternativas — mas vou deixar o valor com duas casas decimais.