Em um copo introduzimos 375 g de chá em uma temperatura de 85^{\circ} \mathrm{C}, e em seguida adiciona-se 100 g de água gelada a uma temperatura de 2^{\circ} \mathrm{C}. Supondo a absorção de calor pelo copo insignificante, no processo de resfriamento do chá, encontre a temperatura em que a mistura chá quente com água gelada irá entrar em equilíbrio térmico.
\mathrm{R}: T=67,5^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
  • Temos 375\\ \mathrm{g} de chá a 85^{\circ}\mathrm{C}.
  • Adicionam-se 100\\ \mathrm{g} de água a 2^{\circ}\mathrm{C}.
  • A absorção de calor pelo copo é desprezível.
  • Pergunta: qual é a temperatura de equilíbrio térmico da mistura?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): a energia térmica se conserva no sistema formado pelo chá e pela água, quando desprezamos perdas para o copo e para o ambiente. Isso significa que o calor perdido pela parte mais quente será igual ao calor ganho pela parte mais fria.
Fórmula básica de calor (vou explicar tudo):
Q = m \, c \, \Delta T
onde:
  • Q é o calor trocado (em joules ou calorias),
  • m é a massa (em gramas),
  • c é o calor específico do material (para água/chá usamos o mesmo c),
  • \Delta T é a variação de temperatura, \Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}}.
Sinal e interpretação: se uma substância esfria, \Delta T é negativo e Q é negativo (perde calor). Se aquece, \Delta T é positivo e Q é positivo (ganha calor). Na equação de conservação escrevemos calor perdido em módulo igual ao calor ganho em módulo.

Passo 3

Aplicando a conservação de energia entre o chá (subscrito 1) e a água fria (subscrito 2), e chamando T_f a temperatura final de equilíbrio:
Escrevemos que o calor perdido pelo chá é igual ao calor ganho pela água:
m_1 c (T_1 - T_f) = m_2 c (T_f - T_2)
onde:
  • m_1 = 375\\ \mathrm{g}, T_1 = 85^{\circ}\mathrm{C} (chá),
  • m_2 = 100\\ \mathrm{g}, T_2 = 2^{\circ}\mathrm{C} (água fria),
  • c é o mesmo para ambos (água/chá), portanto cancela em seguida.
Cancelando c em ambos os lados e desenvolvendo a igualdade:
m_1(T_1 - T_f) = m_2(T_f - T_2)
m_1 T_1 - m_1 T_f = m_2 T_f - m_2 T_2
Agora isolamos T_f. Somando m_1 T_f em ambos os lados e somando m_2 T_2 em ambos os lados:
m_1 T_1 + m_2 T_2 = (m_1 + m_2)\, T_f
Portanto a fórmula prática e muito útil (interpretação: média ponderada de temperaturas pelos masses) é:
T_f = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2}

Passo 4

Agora substituímos os números fornecidos (faça assim na prova para evitar usar o valor de c; ele cancelou):
T_f = \frac{375\cdot 85 + 100\cdot 2}{375 + 100}
Calculemos passo a passo as multiplicações (mostrando como fazer sem calculadora):
375\cdot 85 = 375\cdot(80+5)=375\cdot 80 + 375\cdot 5=30000+1875=31875
100\cdot 2 = 200
Somando os numeradores:
31875 + 200 = 32075
Somando as massas do denominador:
375 + 100 = 475
Logo:
T_f = \frac{32075}{475}

Passo 5

Simplificamos a fração para obter um número mais manejável. Dividindo numerador e denominador por 25:
\frac{32075}{475} = \frac{1283}{19}.
Agora fazemos a divisão para obter a temperatura em graus Celsius:
\frac{1283}{19} \approx 67{,}526315\ldots^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando conforme costuma-se pedir em provas (uma casa decimal), obtemos:
T_f \approx 67{,}5^{\circ}\mathrm{C}.
Dica rápida para prova: essa expressão é uma média ponderada. Você pode pensar mentalmente como
T_f = \frac{375}{475}\cdot 85 + \frac{100}{475}\cdot 2,
ou seja, a temperatura final fica entre 85^{\circ}\mathrm{C} e 2^{\circ}\mathrm{C}, mais próxima de 85^{\circ}\mathrm{C} porque há mais massa quente — isso serve como checagem rápida do resultado.

Resposta

T=67{,}5^{\circ}\mathrm{C}

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