Um recipiente de seção reta
contém um líquido incompressível de densidade
cuja superfície e mantida a pressão constante
. A uma profundidade
em relação à superfície do líquido, abre-se um orifício pequeno de seção reta
e esse líquido começa a vazar para o exterior, que está à pressão atmosférica
.
© O que acontece com o orifício quando
? Isto depende do valor de
?
© O que acontece com o orifício quando
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. Temos um recipiente com um líquido incompressível, tipo água, cuja superfície está numa pressão constante $ p_1 $. A uma certa profundidade $ h $, abre-se um orifício menor $ a $ pelo qual o líquido começa a vazar para fora, onde a pressão é $ p_0 $, geralmente a pressão atmosférica. O conteúdo aqui está relacionado à Hidrostática e à Dinâmica dos Fluidos, especificamente utilizando a Lei de Bernoulli para resolver. Vamos precisar entender como a pressão, a densidade do líquido $ \rho $ e a profundidade $ h $ influenciam o comportamento do orifício quando $ p_1 = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em um fluido em movimento. A equação simplificada para um fluido incompressível e sem viscosidade é:
Aqui, $ p $ é a pressão, $ \rho $ é a densidade do líquido, $ v $ é a velocidade do fluido, $ g $ é a aceleração devido à gravidade, e $ h $ é a altura.
Passo 3
No nosso caso, temos dois pontos importantes: a superfície do líquido e o orifício. Vamos aplicar a equação de Bernoulli a esses dois pontos.
Na superfície:
No orifício:
Note que na superfície, a velocidade $ v_1 $ é praticamente zero porque a área $ A $ é muito maior que a área do orifício $ a $, então $ v_1 \approx 0 $. Além disso, consideramos $ h $ na superfície e zero no orifício por estarmos medindo a profundidade a partir da superfície.
Passo 4
Igualando as constantes das duas equações:
Simplificando:
Queremos encontrar a velocidade $ v_2 $ do líquido saindo pelo orifício.
Passo 5
Rearranjando a equação para $ v_2 $:
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por $ \rho $:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, vamos analisar o que acontece quando $ p_1 = 0 $:
Aqui, percebemos que a expressão dentro da raiz deve ser positiva para termos uma velocidade real. Portanto:
Passo 7
Isso quer dizer que, quando $ p_1 = 0 $, o orifício só permitirá a saída do líquido se a profundidade $ h $ for maior que $ \frac{p_0}{\rho g} $. Em outras palavras, o orifício só vaza se a profundidade for suficiente para compensar a pressão atmosférica $ p_0 $.
Resposta
Quando $ p_1 = 0 $, o orifício só vaza se a profundidade $ h $ for maior que $ \frac{p_0}{\rho g} $. Portanto, o comportamento do orifício depende sim do valor de $ h $.