Suponha que um fluido tenha uma densidade que decresce com a altura
como
, onde
e
são constantes adimensionais. O fluido está contido em um recipiente fechado com a forma de paralelepípedo, com base quadrada de lado
, e altura
. Considere a base do recipiente em
. Encontre:
(a) como a pressão
varia em função da altura
.
(a) como a pressão
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre como a pressão em um fluido muda com a altura. A matéria aqui é hidrostática, que estuda o equilíbrio dos fluidos. A gente precisa descobrir como a pressão $ p(z) $ varia conforme a altura $ z $ dentro de um recipiente onde a densidade do fluido diminui com a altura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em hidrostática, a variação da pressão com a profundidade (ou altura) é dada pela relação:
Aqui, $ \frac{dp}{dz} $ é a taxa de variação da pressão com relação à altura, $ \rho(z) $ é a densidade do fluido que depende de $ z $, e $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Sabemos que a densidade do fluido varia com a altura segundo a equação:
Onde $ \rho_0 $ e $ z_0 $ são constantes.
Passo 4
Vamos substituir $ \rho(z) $ na equação da variação da pressão:
Passo 5
Agora, para encontrar $ p(z) $, precisamos integrar essa equação em relação a $ z $:
Passo 6
A integral de $ e^{-z / z_0} $ em relação a $ z $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo de volta, temos:
Passo 8
Para encontrar a constante $ C
z = 0 $), a pressão é $ p_0 $. Então:
Passo 9
Substituindo $ C $ na equação de $ p(z) $:
Resposta
A pressão $ p(z) $ varia com a altura $ z $ segundo a expressão: