Suponha que um fluido tenha uma densidade que decresce com a altura z como rho(z)=rho0 e^-z / z0, onde rho0 e z0 são constantes adimensionais. O fluido está contido em um recipiente fechado com a forma de paralelepípedo, com base quadrada de lado L, e altura H. Considere a base do recipiente em z=0. Encontre:
(a) como a pressão p(z) varia em função da altura z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre como a pressão em um fluido muda com a altura. A matéria aqui é hidrostática, que estuda o equilíbrio dos fluidos. A gente precisa descobrir como a pressão $ p(z) $ varia conforme a altura $ z $ dentro de um recipiente onde a densidade do fluido diminui com a altura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em hidrostática, a variação da pressão com a profundidade (ou altura) é dada pela relação:
dpdz = -rho(z) cdot g
Aqui, $ \frac{dp}{dz} $ é a taxa de variação da pressão com relação à altura, $ \rho(z) $ é a densidade do fluido que depende de $ z $, e $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Sabemos que a densidade do fluido varia com a altura segundo a equação:
rho(z) = rho0 e^-z / z0
Onde $ \rho_0 $ e $ z_0 $ são constantes.

Passo 4

Vamos substituir $ \rho(z) $ na equação da variação da pressão:
rho(z)

Passo 5

Agora, para encontrar $ p(z) $, precisamos integrar essa equação em relação a $ z $:
p(z)

Passo 6

A integral de $ e^{-z / z_0} $ em relação a $ z $ é:
e^-z / z0
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta, temos:
p(z) = rho0 g z0 e^-z / z0 + C

Passo 8

Para encontrar a constante $ C C z = 0 $), a pressão é $ p_0 $. Então:
z = 0

Passo 9

Substituindo $ C $ na equação de $ p(z) $:
C
p(z)

Resposta

A pressão $ p(z) $ varia com a altura $ z $ segundo a expressão:
p(z)

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