Suponha que um fluido tenha uma densidade que decresce com a altura
como
, onde
e
são constantes adimensionais. O fluido está contido em um recipiente fechado com a forma de paralelepípedo, com base quadrada de lado
, e altura
. Considere a base do recipiente em
. Encontre:
(b) Para
, mostre que
.
(b) Para
Passo 1
Vamos resumir a questão: Temos um fluido com densidade que diminui com a altura $ z $ segundo a fórmula
. Esse fluido está em um recipiente fechado com base quadrada de lado $ L $ e altura $ H $, sendo a base em $ z = 0 $. Queremos encontrar a expressão da pressão $ p(z) $ em função de $ z $ para $ z \ll z_{0} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática dos fluidos e integrar a variação da pressão com a altura.
Passo 2
Na estática dos fluidos, a variação da pressão com a altura é dada pela equação diferencial:
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Substituímos a densidade
na equação:
Passo 4
Para encontrar $ p(z) $, vamos integrar a equação diferencial. Integramos de $ z $ até $ H $:
Passo 5
Como $ z \ll z_{0} $, podemos aproximar o termo exponencial usando a expansão de Taylor para pequenos $ z/z_{0} $:
Dessa forma, a densidade se aproxima de $ \rho(z) \approx \rho_{0} $.
Passo 6
Com a aproximação $ \rho(z) \approx \rho_{0} $, a integral fica mais simples:
Resposta
Para $ z \ll z_{0} $, a pressão é dada por: