Suponha que um fluido tenha uma densidade que decresce com a altura z como rho(z)=rho0 e^-z / z0, onde rho0 e z0 são constantes adimensionais. O fluido está contido em um recipiente fechado com a forma de paralelepípedo, com base quadrada de lado L, e altura H. Considere a base do recipiente em z=0. Encontre:
(b) Para z<, mostre que p(z)=p(H)+rho0 g(H-z).

Passo 1

Vamos resumir a questão: Temos um fluido com densidade que diminui com a altura $ z $ segundo a fórmula z . Esse fluido está em um recipiente fechado com base quadrada de lado $ L $ e altura $ H $, sendo a base em $ z = 0 $. Queremos encontrar a expressão da pressão $ p(z) $ em função de $ z $ para $ z \ll z_{0} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática dos fluidos e integrar a variação da pressão com a altura.

Passo 2

Na estática dos fluidos, a variação da pressão com a altura é dada pela equação diferencial:
dpdz = -rho(z) cdot g
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Substituímos a densidade rho(z) na equação:
dpdz = -rho0 e^-z / z0 cdot g

Passo 4

Para encontrar $ p(z) $, vamos integrar a equação diferencial. Integramos de $ z $ até $ H $:
p(z)

Passo 5

Como $ z \ll z_{0} $, podemos aproximar o termo exponencial usando a expansão de Taylor para pequenos $ z/z_{0} $:
z ll z0
Dessa forma, a densidade se aproxima de $ \rho(z) \approx \rho_{0} $.

Passo 6

Com a aproximação $ \rho(z) \approx \rho_{0} $, a integral fica mais simples:
rho(z) approx rho0

Resposta

Para $ z \ll z_{0} $, a pressão é dada por:
z ll z0

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