1. Um recipiente vertical cuja base mede 14,0 cm times 17,0 cm está sendo preenchido com pedaços de chocolate que possuem um volume de 500 mm^3 e uma massa de 20 g. Suponha que o espaço vazio entre as barras de chocolate é tão pequeno que possa ser desprezado. Se a altura das barras de chocolate no recipiente aumenta à razão de 2,5 cm / s, qual é a taxa de aumento da massa das barras de chocolate no recipiente, em kg/min?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um recipiente vertical com base de 14,0 cm por 17,0 cm que está sendo preenchido com pedaços de chocolate. Cada pedaço de chocolate tem um volume de 500 , mm^3 e uma massa de 20 g. Queremos descobrir qual é a taxa de aumento da massa dos chocolates no recipiente, medida em kg por minuto, sabendo que a altura dos chocolates está aumentando a uma taxa de 2,5 , cm/s.
Aqui, vamos trabalhar com conceitos de taxas relacionadas em Cálculo Diferencial, que nos ajudam a relacionar como diferentes quantidades mudam umas em relação às outras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a altura dos chocolates no recipiente e a massa total dos chocolates. Como o espaço vazio é desprezível, todo o volume do recipiente ocupado pelos chocolates é dado pela base multiplicada pela altura.
A base do recipiente tem dimensões de 14,0 cm por 17,0 cm, então a área da base A é:
A = 14,0 , cm times 17,0 , cm = 238,0 , cm^2

Passo 3

Agora, vamos relacionar o volume total dos chocolates com a altura h no recipiente. O volume total V é:
V = A times h
Substituindo a área que calculamos:
V = 238,0 , cm^2 times h , cm = 238,0 , h , cm^3

Passo 4

Sabemos que cada pedaço de chocolate tem um volume de 500 , mm^3. Precisamos converter esse volume para cm^3, já que nossas outras medidas estão em centímetros:
1 , cm^3 = 1000 , mm^3 Rightarrow 500 , mm^3 = 0,5 , cm^3
Então, cada pedaço de chocolate ocupa 0,5 , cm^3.

Passo 5

Agora, vamos encontrar quantos pedaços de chocolate estão no recipiente a qualquer altura h. O número de pedaços n é igual ao volume total dividido pelo volume de cada pedaço:
n = VVolume de cada pedaço = 238,0 , h0,5 = 476 , h ç

Passo 6

Cada pedaço de chocolate tem uma massa de 20 g. Então, a massa total M dos chocolates no recipiente é:
M = n times massa de cada pedaço = 476 , h times 20 , g = 9520 , h , g ç

Passo 7

Queremos encontrar a taxa de aumento da massa em kg por minuto. Primeiro, vamos converter a massa de gramas para quilogramas:
M = 9520 , h , g = 9,52 , h , kg

Passo 8

Agora, vamos diferenciar a massa M em relação ao tempo t para encontrar dMdt:
dMdt = 9,52 , dhdt
Sabemos que dhdt = 2,5 , cm/s. Então:
dMdt = 9,52 times 2,5 = 23,8 , kg/s

Passo 9

Por fim, vamos converter a taxa de kg por segundo para kg por minuto:
23,8 , kg/s times 60 , s/min = 1428 , kg/min

Resposta

A taxa de aumento da massa das barras de chocolate no recipiente é de 1428 kg/min.

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