- Um recipiente vertical cuja base mede
está sendo preenchido com pedaços de chocolate que possuem um volume de
e uma massa de 20 g. Suponha que o espaço vazio entre as barras de chocolate é tão pequeno que possa ser desprezado. Se a altura das barras de chocolate no recipiente aumenta à razão de
, qual é a taxa de aumento da massa das barras de chocolate no recipiente, em kg/min?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um recipiente vertical com base de 14,0 cm por 17,0 cm que está sendo preenchido com pedaços de chocolate. Cada pedaço de chocolate tem um volume de
e uma massa de 20 g. Queremos descobrir qual é a taxa de aumento da massa dos chocolates no recipiente, medida em kg por minuto, sabendo que a altura dos chocolates está aumentando a uma taxa de
.
Aqui, vamos trabalhar com conceitos de taxas relacionadas em Cálculo Diferencial, que nos ajudam a relacionar como diferentes quantidades mudam umas em relação às outras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a altura dos chocolates no recipiente e a massa total dos chocolates. Como o espaço vazio é desprezível, todo o volume do recipiente ocupado pelos chocolates é dado pela base multiplicada pela altura.
A base do recipiente tem dimensões de 14,0 cm por 17,0 cm, então a área da base
é:
Passo 3
Agora, vamos relacionar o volume total dos chocolates com a altura
no recipiente. O volume total
é:
Substituindo a área que calculamos:
Passo 4
Sabemos que cada pedaço de chocolate tem um volume de
. Precisamos converter esse volume para
, já que nossas outras medidas estão em centímetros:
Então, cada pedaço de chocolate ocupa
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar quantos pedaços de chocolate estão no recipiente a qualquer altura
. O número de pedaços
é igual ao volume total dividido pelo volume de cada pedaço:
Passo 6
Cada pedaço de chocolate tem uma massa de 20 g. Então, a massa total
dos chocolates no recipiente é:
Passo 7
Queremos encontrar a taxa de aumento da massa em kg por minuto. Primeiro, vamos converter a massa de gramas para quilogramas:
Passo 8
Agora, vamos diferenciar a massa
em relação ao tempo
para encontrar
:
Sabemos que
. Então:
Passo 9
Por fim, vamos converter a taxa de kg por segundo para kg por minuto:
Resposta
A taxa de aumento da massa das barras de chocolate no recipiente é de 1428 kg/min.