Explique por que o sistema:
r u+v+w=2 u+2 v+3 w=1 v+2 w=0
é singular, encontrando uma combinação das três equações que some 0=1. Que valor deve substituir o último zero do lado direito para permitir que a equação tenha infinitas soluções - e qual é uma das soluções?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com três variáveis: , e . O objetivo é mostrar que o sistema é singular, ou seja, que não tem solução única, encontrando uma combinação das equações que resulte em . Além disso, queremos descobrir qual valor substituir no lugar do zero na última equação para que o sistema tenha infinitas soluções e apresentar uma dessas soluções. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e determinação da singularidade de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações do sistema:
u + v + w = 2 (Equação 1) u + 2v + 3w = 1 (Equação 2) v + 2w = 0 (Equação 3) çãçãçã
Queremos combinar essas equações de forma que a soma resulte em . Para isso, vamos multiplicar cada equação por um coeficiente e somá-las.

Passo 3

Vamos atribuir coeficientes a(u + v + w) + b(u + 2v + 3w) + c(v + 2w) = 0 cdot u + 0 cdot v + 0 cdot w = 1 , ( a + b )u + ( a + 2b + c )v + ( a + 3b + 2c )w = 1 e a + b = 0 a + 2b + c = 0 a + 3b + 2c = 0 para as Equações 1, 2 e 3, respectivamente:
Expandindo:
Queremos que os coeficientes de , e sejam zero para obter :

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações para os coeficientes - b + 2b + c = 0 Rightarrow b + c = 0 Rightarrow c = -b , - b + 3b + 2(-b) = 0 Rightarrow -b + 3b - 2b = 0 Rightarrow 0 = 0 e a = -1, c = -1 :
  1. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Isso significa que há infinitas soluções para , e , mas podemos escolher para simplificar:

Passo 5

Agora, vamos usar esses coeficientes para combinar as equações originais:
-1(u + v + w) + 1(u + 2v + 3w) -1(v + 2w) = 1
Explicando:
- (u + v + w) + (u + 2v + 3w) - (v + 2w) = 1
Simplificando:
- u - v - w + u + 2v + 3w - v - 2w = 1 ( -u + u ) + ( -v + 2v - v ) + ( -w + 3w - 2w ) = 1 0u + 0v + 0w = 1 0 = 1
Isso mostra que o sistema é singular, pois temos uma contradição .

Passo 6

Para que o sistema tenha infinitas soluções, a combinação linear das equações não deve resultar em uma contradição. Então, precisamos substituir o 1 por 0 na combinação que obtivemos:
0 = 0
Isso significa que as equações são dependentes e o sistema terá infinitas soluções.

Passo 7

Vamos encontrar uma das soluções. Usando a Equação 3 modificada:
v + 2w = 0 Rightarrow v = -2w
Substituindo u + (-2w) + w = 2 Rightarrow u - w = 2 Rightarrow u = 2 + w na Equação 1:
u = 2 + 0 = 2 v = -2(0) = 0
Podemos escolher um valor para . Vamos dizer :
Então, uma solução é , , .

Resposta

O sistema é singular porque uma combinação das equações resulta em . Substituindo o último zero por , o sistema passa a ter infinitas soluções. Uma dessas soluções é , e .

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