(1,0)
Seja f: R R, definida por f(x)=n, onde n in Z e n <= x<n+1. Prove que, para cada n in Z,
lim x n^+ f(x)=n e lim x n^- f(x)=n-1

Passo 1

O enunciado define a função piso
f(x)=nse, e somente se, ninZ e n<= x<n+1
Queremos mostrar, para dado ninZ, que
limxto n^+f(x)=n e limxto n^-f(x)=n-1
Usaremos a definição de limite lateral: por exemplo, limxto n^+f(x)=L significa que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<x-n<de<a, vale lvert f(x)-Lrvert<varepsilon.

Passo 2

Cálculo de limxto n^+f(x).
Se 0<x-n<1, então n<x<n+1, logo f(x)=n.
Dado varepsilon>0, basta escolher de<a=1. Então, sempre que
0<x-n<de<a=1,
temos f(x)=n e portanto
lvert f(x)-nrvert=lvert n-nrvert=0<varepsilon
Assim, limxto n^+f(x)=n.

Passo 3

Cálculo de limxto n^-f(x).
Se 0<n-x<1, então n-1<x<n, logo f(x)=n-1.
Dado varepsilon>0, escolha de<a=1. Então, sempre que
0<n-x<de<a=1,
temos f(x)=n-1 e portanto
lvert f(x)-(n-1)rvert=lvert (n-1)-(n-1)rvert=0<varepsilon
Logo limxto n^-f(x)=n-1.

Resposta

limxto n^+f(x)=n e limxto n^-f(x)=n-1

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