Reduza à forma diagonal pelo processo de Gauss as seguintes formas quadráticas do \mathbb{R}^{2} e do \mathbb{R}^{3}, dadas respectivamente por q\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2} e q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}-x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{2} x_{3}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas concretas:
  • Reduzir à forma diagonal a forma quadrática \displaystyle q(x_1,x_2)=x_1^{2}+x_2^{2}+2x_1x_2 definida em \mathbb{R}^2.
  • Reduzir à forma diagonal a forma quadrática \displaystyle q(x_1,x_2,x_3)=x_1^{2}+x_1x_2-x_2^{2}+x_3^{2}+2x_2x_3 definida em \mathbb{R}^3.
Informações dadas (valores que vou usar):
  • Para a primeira forma: os coeficientes são explícitos nos termos x_1^2,\;x_2^2,\;x_1x_2.
  • Para a segunda forma: os coeficientes são explícitos nos termos x_1^2,\;x_1x_2,\;x_2^2,\;x_3^2,\;x_2x_3.
O objetivo é encontrar mudanças de variável lineares invertíveis do tipo \mathbf{y}=P\mathbf{x} (ou, na prática, substituições do tipo y_i= combinação linear das x_j) que transformem cada forma em uma soma de coeficientes vezes quadrados das novas variáveis, sem termos mistos (ou seja, diagonalizar por congruência).

Passo 2

Ideia didática rápida (o que vou usar): completar quadrados é a forma prática e equivalente, para estes casos, de realizar operações de Gauss por congruência. Completar quadrado significa agrupar os termos que envolvem uma mesma variável e escrever algo do tipo
x^2 + 2bx = (x+b)^2 - b^2,
ou, no caso de termo misto x_1x_2,
x_1^2 + x_1x_2 = \left(x_1+\tfrac{1}{2}x_2\right)^2 - \tfrac{1}{4}x_2^2.
Cada completamento de quadrado corresponde a fazer uma mudança linear ortodoxa (de forma triangular) nas variáveis, que é invertível e preserva o tipo de congruência da forma quadrática.
Vou aplicar isso passo a passo nos dois casos.

Passo 3

Redução da primeira forma: \displaystyle q(x_1,x_2)=x_1^{2}+x_2^{2}+2x_1x_2.
Agrupo e reconheço um quadrado perfeito:
x_1^{2}+2x_1x_2+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}.
Portanto a forma já é um quadrado perfeito. Faço a mudança de variáveis direta
y_1 = x_1 + x_2,\qquad y_2 = x_2.
Vou verificar a substituição: escrevendo x_1 = y_1 - y_2 e x_2 = y_2 e substituindo,
q = (y_1 - y_2)^2 + y_2^2 + 2(y_1 - y_2)y_2.
Expando:
(y_1 - y_2)^2 + y_2^2 + 2(y_1 - y_2)y_2 = y_1^2 -2y_1y_2 + y_2^2 + y_2^2 + 2y_1y_2 -2y_2^2 = y_1^2.
Os termos mistos e os y_2^2 cancelam, restando apenas y_1^2. Logo a forma diagonalizada é
q = y_1^2 + 0\cdot y_2^2,
ou, em forma matriz diagonal, \operatorname{diag}(1,0). A mudança (y_1,y_2)=(x_1+x_2,\;x_2) é invertível (determinante -1 da matriz de transformação), portanto válida.

Passo 4

Agora começo a segunda forma:
q(x_1,x_2,x_3)=x_1^{2}+x_1x_2-x_2^{2}+x_3^{2}+2x_2x_3.
Primeiro passo: isolo os termos que envolvem x_1 para completar o quadrado em x_1. Os termos com x_1 são x_1^2 + x_1x_2. Uso a identidade
x_1^2 + x_1x_2 = \left(x_1+\tfrac{1}{2}x_2\right)^2 - \tfrac{1}{4}x_2^2.
Faço a substituição parcial definindo provisoriamente
y_1 := x_1 + \tfrac{1}{2}x_2.
Então
x_1^2 + x_1x_2 = y_1^2 - \tfrac{1}{4}x_2^2.

Passo 5

Substituo esse resultado em q. Assim
q = y_1^2 - \tfrac{1}{4}x_2^2 - x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3.
Combino os termos em x_2^2: -\tfrac{1}{4}x_2^2 - x_2^2 = -\tfrac{5}{4}x_2^2. Então a parte restante (ainda com x_2,x_3) é
r(x_2,x_3) = -\tfrac{5}{4}x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2.
Portanto até aqui
q = y_1^2 + r(x_2,x_3).

Passo 6

Agora reduzo r(x_2,x_3). Faço completar quadrado olhando como quadrática em x_3:
x_3^2 + 2x_2x_3 = (x_3 + x_2)^2 - x_2^2.
Substituo isso em r:
r = -\tfrac{5}{4}x_2^2 + \big[(x_3 + x_2)^2 - x_2^2\big] = (x_3 + x_2)^2 + \Big(-\tfrac{5}{4}x_2^2 - x_2^2\Big).
Calculo o coeficiente em x_2^2: -\tfrac{5}{4}-1 = -\tfrac{9}{4}. Logo
r = (x_3 + x_2)^2 - \tfrac{9}{4}x_2^2.

Passo 7

Agora já tenho q como soma de quadrados sem termos mistos entre as novas combinações:
defino as novas variáveis (além de y_1 já definida):
y_2 := x_3 + x_2,\qquad y_3 := x_2.
Com essas definições obtenho diretamente
q = y_1^2 + y_2^2 - \tfrac{9}{4}y_3^2.
Verificação rápida (expansão) para garantir que não cometi erro: substituindo y_1=x_1+\tfrac12x_2,\;y_2=x_3+x_2,\;y_3=x_2 e expandindo obtém-se exatamente a expressão inicial (faço a conta mentalmente ou explicitamente como fiz nos passos anteriores). A transformação \mathbf{y}=P\mathbf{x} com
P=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
é invertível (determinante -1), portanto a congruência é válida.
Interpretando o resultado: a forma quadrática em \mathbb{R}^3 foi levada a uma forma diagonal com coeficientes 1,1,-\tfrac{9}{4}.]

Resposta

\displaystyle q(x_1,x_2)= (x_1+x_2)^2 = y_1^2 + 0\cdot y_2^2, com \displaystyle y_1=x_1+x_2,\;y_2=x_2.
\displaystyle q(x_1,x_2,x_3)= y_1^2 + y_2^2 - \tfrac{9}{4}y_3^2, com \displaystyle y_1=x_1+\tfrac{1}{2}x_2,\;y_2=x_3+x_2,\;y_3=x_2.

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