Reduza à forma diagonal pelo processo de Gauss as seguintes formas quadráticas do \mathbb{R}^{2} e do \mathbb{R}^{3}, dadas respectivamente por q\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2} e q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}-x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{2} x_{3}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas concretas:
Reduzir à forma diagonal a forma quadrática \displaystyle q(x_1,x_2)=x_1^{2}+x_2^{2}+2x_1x_2 definida em \mathbb{R}^2.
Reduzir à forma diagonal a forma quadrática \displaystyle q(x_1,x_2,x_3)=x_1^{2}+x_1x_2-x_2^{2}+x_3^{2}+2x_2x_3 definida em \mathbb{R}^3.
Informações dadas (valores que vou usar):
Para a primeira forma: os coeficientes são explícitos nos termos x_1^2,\;x_2^2,\;x_1x_2.
Para a segunda forma: os coeficientes são explícitos nos termos x_1^2,\;x_1x_2,\;x_2^2,\;x_3^2,\;x_2x_3.
O objetivo é encontrar mudanças de variável lineares invertíveis do tipo \mathbf{y}=P\mathbf{x} (ou, na prática, substituições do tipo y_i= combinação linear das x_j) que transformem cada forma em uma soma de coeficientes vezes quadrados das novas variáveis, sem termos mistos (ou seja, diagonalizar por congruência).
Passo 2
Ideia didática rápida (o que vou usar): completar quadrados é a forma prática e equivalente, para estes casos, de realizar operações de Gauss por congruência. Completar quadrado significa agrupar os termos que envolvem uma mesma variável e escrever algo do tipo
Cada completamento de quadrado corresponde a fazer uma mudança linear ortodoxa (de forma triangular) nas variáveis, que é invertível e preserva o tipo de congruência da forma quadrática.
Vou aplicar isso passo a passo nos dois casos.
Passo 3
Redução da primeira forma: \displaystyle q(x_1,x_2)=x_1^{2}+x_2^{2}+2x_1x_2.
Agrupo e reconheço um quadrado perfeito:
x_1^{2}+2x_1x_2+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}.
Portanto a forma já é um quadrado perfeito. Faço a mudança de variáveis direta
y_1 = x_1 + x_2,\qquad y_2 = x_2.
Vou verificar a substituição: escrevendo x_1 = y_1 - y_2 e x_2 = y_2 e substituindo,
Os termos mistos e os y_2^2 cancelam, restando apenas y_1^2. Logo a forma diagonalizada é
q = y_1^2 + 0\cdot y_2^2,
ou, em forma matriz diagonal, \operatorname{diag}(1,0). A mudança (y_1,y_2)=(x_1+x_2,\;x_2) é invertível (determinante -1 da matriz de transformação), portanto válida.
Calculo o coeficiente em x_2^2: -\tfrac{5}{4}-1 = -\tfrac{9}{4}. Logo
r = (x_3 + x_2)^2 - \tfrac{9}{4}x_2^2.
Passo 7
Agora já tenho q como soma de quadrados sem termos mistos entre as novas combinações:
defino as novas variáveis (além de y_1 já definida):
y_2 := x_3 + x_2,\qquad y_3 := x_2.
Com essas definições obtenho diretamente
q = y_1^2 + y_2^2 - \tfrac{9}{4}y_3^2.
Verificação rápida (expansão) para garantir que não cometi erro: substituindo y_1=x_1+\tfrac12x_2,\;y_2=x_3+x_2,\;y_3=x_2 e expandindo obtém-se exatamente a expressão inicial (faço a conta mentalmente ou explicitamente como fiz nos passos anteriores). A transformação \mathbf{y}=P\mathbf{x} com