Reconhecemos que
Que condição permite essa equivalência? Por que são usadas uma derivada ordinária à esquerda
uma derivada parcial à direita?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que
e pergunta qual condição permite “passar” a derivada pra dentro do integral, e por que, lá fora, usamos a derivada total
enquanto dentro usamos a parcial
.
Conteúdo envolvido: cálculo integral (teorema de Leibniz) e diferença entre derivada total e parcial.
Conteúdo envolvido: cálculo integral (teorema de Leibniz) e diferença entre derivada total e parcial.
Passo 2
A condição fundamental é que o volume de integração (a régua espacial, chamado aqui de VEC) seja fixo no tempo.
- Em cálculo, existe o Teorema de Leibniz para derivar um integral cujo domínio pode até variar; mas, se o domínio não varia (as fronteiras não se movem nem “crescem”), a regra simplifica:
- Tudo isso assume que
(aqui ) e suas derivadas sejam contínuas e bem comportadas dentro de .
Passo 3
Por que derivada total fora e parcial dentro?
- Lado esquerdo:
é uma função só de . Quando dizemos , é a derivada total: leva em conta toda a variação de conforme muda. - Lado direito: dentro do integral, tratamos
como função de . Ao aplicarmos , estamos segurando fixo e vendo só a variação no tempo. É exatamente a hipótese de domínio fixo que nos permite ignorar qualquer “movimento” do contorno; daí não precisamos de termos extras de fronteira.
Resposta
A equivalência vale desde que o volume VEC seja fixo no tempo (contorno estacionário) e as funções sejam suficientemente suaves. Usamos a derivada total
fora porque o inteiro
é uma função só de
, e a derivada parcial
dentro porque estamos derivando o integrando em
com
mantido constante.