Reconhecemos que
dd t integralv e c rho eta d V=integralv e c partialpartial t rho eta d V
Que condição permite essa equivalência? Por que são usadas uma derivada ordinária à esquerda e uma derivada parcial à direita?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que
dd t integralVEC rho,eta,dV ;=;integralVEC partialpartial tl(rho,etar),dV
e pergunta qual condição permite “passar” a derivada pra dentro do integral, e por que, lá fora, usamos a derivada total enquanto dentro usamos a parcial .
Conteúdo envolvido: cálculo integral (teorema de Leibniz) e diferença entre derivada total e parcial.

Passo 2

A condição fundamental é que o volume de integração (a régua espacial, chamado aqui de VEC) seja fixo no tempo.
  • Em cálculo, existe o Teorema de Leibniz para derivar um integral cujo domínio pode até variar; mas, se o domínio não varia (as fronteiras não se movem nem “crescem”), a regra simplifica: ddtintegralV f(x,t),dV =integralV partial f(x,t)partial t,dV
  • Tudo isso assume que (aqui ) e suas derivadas sejam contínuas e bem comportadas dentro de .

Passo 3

Por que derivada total fora e parcial dentro?
  1. Lado esquerdo: é uma função só de . Quando dizemos , é a derivada total: leva em conta toda a variação de conforme muda.
  2. Lado direito: dentro do integral, tratamos como função de . Ao aplicarmos , estamos segurando fixo e vendo só a variação no tempo. É exatamente a hipótese de domínio fixo que nos permite ignorar qualquer “movimento” do contorno; daí não precisamos de termos extras de fronteira.

Resposta

A equivalência vale desde que o volume VEC seja fixo no tempo (contorno estacionário) e as funções sejam suficientemente suaves. Usamos a derivada total fora porque o inteiro é uma função só de , e a derivada parcial dentro porque estamos derivando o integrando em com mantido constante.

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