Água salgada estratificada escoa a uma profundidade de 10 cm em um canal com a distribuição de velocidade 12(y-5 y^2) m / s, em que y é medido em metros. Se a densidade varia linearmente de 1165 kg / m^3 no fundo para água limpa na superfície, determine dotm. Além disso, mostre que dotm neq barrho V A. O canal tem 1,5 m de largura.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é calcular a vazão mássica de uma água salgada que tem densidade variando linearmente de 1165 kg/m³ no fundo até 1000 kg/m³ na superfície, e que escorre num canal de largura 1,5 m e profundidade V(y)=12l(y-5y^2r)(m/s), m com perfil de velocidade
onde vai de 0 (fundo) a 0,10 m (superfície).
Conteúdo da matéria:
• Definição de vazão mássica .
• Como montar e integrar funções lineares e polinomiais.
• Diferença entre real e .

Passo 2

Primeiro, escrevemos densidade e área diferencial:
  1. Densidade varia linearmente:
rho(y) = 1165 + 1000-11650,10,y =1165 -1650,y(kg/m^3)
  1. A área de uma “fita” infinitesimal de largura dA = b,dy = 1,5,dy m e espessura dot m = integralA rho,V,dA =1,5integral0^0,10!l(1165-1650yr),l[12(y-5y^2)r],dy é
  1. Portanto a vazão mássica é

Passo 3

Vamos simplificar o integrando:
(1165-1650y),(y-5y^2) =1165y -7475y^2+8250y^3
Então
dot m = 1,5cdot12integral0^0,10(1165y-7475y^2+8250y^3),dy =18integral0^0,10(1165y-7475y^2+8250y^3),dy
Integramos termo a termo:
integral 1165y,dy = tfrac11652y^2, integral -7475y^2,dy = -tfrac74753y^3, integral 8250y^3,dy = tfrac82504y^4
Avalia de 0 a 0,10 m:
l[tfrac11652(0,10)^2 -tfrac74753(0,10)^3 +tfrac82504(0,10)^4r] =3,539583(m^4)
Multiplica por 18:
dot m =18times3,539583 approx63,7 kg/s

Passo 4

Agora calculamos barrho = 1hintegral0^h(1165-1650y),dy = 10,10l[1165y -825y^2r]0^0,10 =1082,5 kg/m^3 , bar V = 1hintegral0^h 12(y-5y^2),dy =10,10times0,04 =0,40 m/s e vemos que barrho,bar V,A =1082,5times0,40times0,15approx64,95 kg/s neq63,7 kg/s dá diferente:
  1. Densidade média
  1. Velocidade média
  1. Área total .
    Então

Resposta

A vazão mássica real é
dot m approx 63,7 kg/s,
e de fato , mostrando que não dá para usar média simples de densidade e velocidade quando elas variam com .

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