Água salgada estratificada escoa a uma profundidade de 10 cm em um canal com a distribuição de velocidade , em que é medido em metros. Se a densidade varia linearmente de no fundo para água limpa na superfície, determine . Além disso, mostre que . O canal tem 1,5 m de largura.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é calcular a vazão mássica de uma água salgada que tem densidade variando linearmente de 1165 kg/m³ no fundo até 1000 kg/m³ na superfície, e que escorre num canal de largura 1,5 m e profundidade V(y)=12l(y-5y^2r)(m/s), m com perfil de velocidade
onde vai de 0 (fundo) a 0,10 m (superfície).
Conteúdo da matéria:
• Definição de vazão mássica .
• Como montar e integrar funções lineares e polinomiais.
• Diferença entre real e .
Passo 2
Primeiro, escrevemos densidade e área diferencial:
A área de uma “fita” infinitesimal de largura dA = b,dy = 1,5,dy m e espessura dot m = integralA rho,V,dA =1,5integral0^0,10!l(1165-1650yr),l[12(y-5y^2)r],dy é
Portanto a vazão mássica é
Passo 3
Vamos simplificar o integrando:
(1165-1650y),(y-5y^2) =1165y -7475y^2+8250y^3
Então
dot m = 1,5cdot12integral0^0,10(1165y-7475y^2+8250y^3),dy =18integral0^0,10(1165y-7475y^2+8250y^3),dy
Integramos termo a termo:
integral 1165y,dy = tfrac11652y^2, integral -7475y^2,dy = -tfrac74753y^3, integral 8250y^3,dy = tfrac82504y^4
Agora calculamos barrho = 1hintegral0^h(1165-1650y),dy = 10,10l[1165y -825y^2r]0^0,10 =1082,5 kg/m^3 , bar V = 1hintegral0^h 12(y-5y^2),dy =10,10times0,04 =0,40 m/s e vemos que barrho,bar V,A =1082,5times0,40times0,15approx64,95 kg/s neq63,7 kg/s dá diferente:
Densidade média
Velocidade média
Área total .
Então
Resposta
A vazão mássica real é
dot m approx 63,7 kg/s,
e de fato , mostrando que não dá para usar média simples de densidade e velocidade quando elas variam com .