Reconhecer as quádricas abaixo, dadas pelas suas equações em relação ao sistema ortogonal i, j, k :
x^2-y^2+4 x z+4 y z+11 z+8 x-2 y+12=0,

Passo 1

O enunciado pede para reconhecer a superfície quádricas dada por
x^2-y^2+4xz+4yz+11z+8x-2y+12=0
ou seja, classificar que tipo de quadricidade é (elipsoide, hiperbolóide, paraboloide, cilindro, etc.). Vamos usar métodos de forma quadrática: extrair a matriz do termo quadrático, estudar seu posto e assinatura e, em seguida, completar quadrados para chegar a uma forma canônica.

Passo 2

Identificamos a forma geral
v^TAv + b^Tv + c = 0
com v = (x,y,z), onde
A = 1 & 0 & 2 0 & -1 & 2 2 & 2 & 0 , b = 8-211, c = 12

Passo 3

Para classificar a forma quadrática basta ver o posto de A e os sinais de seus autovalores. Calculamos os menores principais:
D1 = 1>0, D2 = det1&00&-1 = -1<0, D3 = det A = 0
Como D3=0 o posto é 2, e D2<0 indica que há um autovalor positivo e um negativo. Logo a forma quadrática tem assinatura (+,-,0), típica de um paraboloide de sela (hiperbolic paraboloid).

Passo 4

Agora completamos quadrados para eliminar os termos mistos e lineares em x e y.
Reescrevendo:
x^2+4xz+8x = (x + 2z + 4)^2 - (2z+4)^2,
-y^2+4yz-2y = -l(y - (2z-1)r)^2 + (2z-1)^2
Substituindo na equação original obtemos
(x+2z+4)^2 - (y -2z+1)^2 - (2z+4)^2 + (2z-1)^2 + 11z +12 = 0
Os termos só em z somam
-(2z+4)^2 + (2z-1)^2 +11z+12 = -9z -3,
logo a equação vira
(x+2z+4)^2 - (y -2z+1)^2 -9z -3 = 0

Passo 5

Definimos as novas variáveis
u = x + 2z + 4, v = y - 2z + 1, w = z,
ficando
u^2 - v^2 -9w -3 = 0 Longrightarrow u^2 - v^2 = 9w +3
Fazemos ainda a translação
W = w + tfrac13,
de onde 9w+3 = 9W. Assim chegamos à forma canônica
u^2 - v^2 = 9,W Longrightarrow u^29 - v^29 = W

Passo 6

Essa é a equação padrão de um paraboloide de sela (hiperbolic paraboloid), pois há uma variável ( W) aparecendo só linearmente e duas quadráticas com sinais opostos.

Resposta

A superfície é um paraboloide de sela (hiperbolic paraboloid).

Exercícios relacionados