Reconhecer as quádricas abaixo, dadas pelas suas equações em relação ao sistema ortogonal : ,
Passo 1
O enunciado pede para reconhecer a superfície quádricas dada por
ou seja, classificar que tipo de quadricidade é (elipsoide, hiperbolóide, paraboloide, cilindro, etc.). Vamos usar métodos de forma quadrática: extrair a matriz do termo quadrático, estudar seu posto e assinatura e, em seguida, completar quadrados para chegar a uma forma canônica.
Passo 2
Identificamos a forma geral
com , onde
Passo 3
Para classificar a forma quadrática basta ver o posto de A e os sinais de seus autovalores. Calculamos os menores principais:
D1 = 1>0, D2 = det1&00&-1 = -1<0, D3 = det A = 0
Como D3=0 o posto é 2, e D2<0 indica que há um autovalor positivo e um negativo. Logo a forma quadrática tem assinatura (+,-,0), típica de um paraboloide de sela (hiperbolic paraboloid).
Passo 4
Agora completamos quadrados para eliminar os termos mistos e lineares em x e y.
Reescrevendo:
de onde 9w+3 = 9W. Assim chegamos à forma canônica
u^2 - v^2 = 9,W Longrightarrow u^29 - v^29 = W
Passo 6
Essa é a equação padrão de um paraboloide de sela (hiperbolic paraboloid), pois há uma variável (W) aparecendo só linearmente e duas quadráticas com sinais opostos.
Resposta
A superfície é um paraboloide de sela (hiperbolic paraboloid).