Se v1, v2 e v3 são vetores não coplanares, sejam
k1=v2 times v3v1 cdot(v2 times v3) k2=v3 times v1v1 cdot(v2 times v3) k3=v1 times v2v1 cdot(v2 times v3)
Esses vetores aparecem no estudo de cristalografia. O paralelepípedo com vértices vi é a célula unitária do cristal. Vetores da forma n1 v1+n2 v2+n3 v3 onde cada ni é inteiro, formam uma rede: átomos cujas posições difiram por um vetor dessa forma são idênticos na estrutura cristalina. Vetores da forma n1 k1+n2 k2+n3 k3 onde cada ni é inteiro formam a rede recíproca do cristal, que costuma descrever a ocupação eletrônica.
(a) Mostre que ki é ortogonal a vj se i neq j.
(b) Mostre que ki cdot vi=1 para i=1,2,3.
(c) Mostre que k1 cdot(k2 times k3)=1v1 cdot(v2 times v3)

Passo 1

O enunciado dá três vetores não coplanares v1,v2,v3 e define
D = v1 cdot (v2times v3),
k1 = v2timesv3D, k2 = v3timesv1D, k3 = v1timesv2D
Precisamos usar propriedades do produto escalar e vetorial, em particular
  1. acdot(atimesb)=0;
  2. produto misto cíclico (atimesb)cdotc=(btimesc)cdota;
  3. identidade de Lagrange (atimesb)cdot(ctimesd)=(acdotc)(bcdotd)-(acdotd)(bcdotc).

Passo 2

Queremos mostrar que para ineq j vale kicdotvj=0. Por exemplo, para i=1 e j=2:
k1cdotv2 = 1Dl(v2timesv3r)cdotv2 =0,
pois acdot(atimesb)=0. Do mesmo modo
k1cdotv3=0. As demais combinações seguem igual raciocínio.

Passo 3

Queremos kicdotvi=1. Para i=1:
k1cdotv1 = 1D(v2timesv3)cdotv1 = DD =1,
pois (v2timesv3)cdotv1=v1cdot(v2timesv3)=D. Analogamente, usando o caráter cíclico do produto misto, obtemos k2cdotv2=1 e k3cdotv3=1.

Passo 4

Calculamos k1cdot(k2timesk3). Escrevendo tudo em função de D,
k1cdot(k2timesk3) = 1D^3,(v2timesv3)cdotl[(v3timesv1)times(v1timesv2)r]
Aplicando a identidade de Lagrange com
a=v2, b=v3,
c=v3timesv1, d=v1timesv2, obtemos numerador D^2 e portanto
k1cdot(k2timesk3) = D^2D^3 = 1D = 1v1cdot(v2timesv3)

Resposta

(a) Para ineq j vale kicdotvj=0.
(b) Para i=1,2,3 vale kicdotvi=1.
(c)
k1cdotl(k2timesk3r) =1v1cdotl(v2timesv3r)

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