Se
e
são vetores não coplanares, sejam
Esses vetores aparecem no estudo de cristalografia. O paralelepípedo com vértices
é a célula unitária do cristal. Vetores da forma
onde cada
é inteiro, formam uma rede: átomos cujas posições difiram por um vetor dessa forma são idênticos na estrutura cristalina. Vetores da forma
onde cada
é inteiro formam a rede recíproca do cristal, que costuma descrever a ocupação eletrônica.
(a) Mostre que
é ortogonal a
se
.
(b) Mostre que
para
.
(c) Mostre que
(a) Mostre que
(b) Mostre que
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá três vetores não coplanares
e define
Precisamos usar propriedades do produto escalar e vetorial, em particular
-
; - produto misto cíclico
; - identidade de Lagrange
.
Passo 2
Queremos mostrar que para
vale
. Por exemplo, para
e
:
pois
. Do mesmo modo
. As demais combinações seguem igual raciocínio.
Passo 3
Queremos
. Para
:
pois
. Analogamente, usando o caráter cíclico do produto misto, obtemos
e
.
Passo 4
Calculamos
. Escrevendo tudo em função de
,
Aplicando a identidade de Lagrange com
,
,
,
, obtemos numerador
e portanto
Resposta
(a) Para
vale
.
(b) Para vale
.
(c)
(b) Para
(c)