Seja A qualquer matriz complexa não-singular. Mostre que H=A^* A é hermitiana e definida positiva.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz complexa inversível A, a matriz
H = A^*A
é (i) hermitiana e (ii) definida positiva. Aqui vamos usar duas coisas: a propriedade do transposto conjugado de um produto (BC)^*=C^*B^* e a definição de matriz definida positiva, que exige
xneq0Longrightarrow x^*Hx>0

Passo 2

Mostramos que H é hermitiana, ou seja, H^*=H. Usando (BC)^*=C^*B^* com B=A^* e C=A, concluímos
H^* = (A^*A)^* = A^*(A^*)^* = A^*A = H

Passo 3

Mostramos que H é definida positiva verificando x^*Hx>0 para todo vetor não-nulo xinC^n. De fato,
x^*Hx = x^*A^*A x = (A x)^*(A x) = lVert A xrVert^2
Como A é inversível, xneq0 implica Axneq0, então lVert AxrVert^2>0.

Resposta

Portanto, para qualquer matriz complexa inversível A, a matriz H=A^*A é hermitiana e definida positiva.

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