Seja qualquer matriz complexa não-singular. Mostre que é hermitiana e definida positiva.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz complexa inversível , a matriz
é (i) hermitiana e (ii) definida positiva. Aqui vamos usar duas coisas: a propriedade do transposto conjugado de um produto e a definição de matriz definida positiva, que exige
Passo 2
Mostramos que é hermitiana, ou seja, . Usando com e , concluímos
Passo 3
Mostramos que é definida positiva verificando para todo vetor não-nulo . De fato,
Como A é inversível, xneq0 implica Axneq0, então lVert AxrVert^2>0.
Resposta
Portanto, para qualquer matriz complexa inversível A, a matriz H=A^*A é hermitiana e definida positiva.