Reconhecer as quádricas abaixo, dadas pelas suas equações em relação ao sistema ortogonal : ,
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádica em
e pede para reconhecê-la (identificar de que tipo de quádricas se trata). Vamos usar a forma matricial da parte quadrática e depois completar o quadrado.
Passo 2
Escrevemos a parte quadrática como
com
Note que onde . Logo
Passo 3
A equação completa fica
(x - y + z)^2-4x+4y-4z+1=0
Observamos que o termo linear -4x+4y-4z é -4,(x-y+z). Definindo
t = x - y + z,
a equação vira
t^2-4t+1=0
Passo 4
Fazendo o completamento de quadrado em t:
t^2-4t+1 = (t-2)^2-4+1 = (t-2)^2-3
Então a equação t^2-4t+1=0 é equivalente a
(t-2)^2 = 3,
que dá
t-2 = pmraiz3 Longrightarrow t = 2pmraiz3
Passo 5
Voltando à variável original, t=x-y+z, concluímos que a quádrica se decompõe em duas equações lineares independentes:
x - y + z = 2 + raiz3 e x - y + z = 2 - raiz3
Cada uma delas é um plano no espaço, e como os dois planos têm o mesmo vetor normal u=(1,-1,1), eles são planos paralelos distintos.
Resposta
A quádrica é o conjunto união de dois planos paralelos dados por