Reconhecer as quádricas abaixo, dadas pelas suas equações em relação ao sistema ortogonal i, j, k :
x^2+y^2+z^2-2 x y+2 x z-2 y z-4 x+4 y-4 z+1=0,

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádica em (x,y,z)
x^2+y^2+z^2-2xy+2xz-2yz-4x+4y-4z+1=0
e pede para reconhecê-la (identificar de que tipo de quádricas se trata). Vamos usar a forma matricial da parte quadrática e depois completar o quadrado.

Passo 2

Escrevemos a parte quadrática como
com
Note que onde . Logo

Passo 3

A equação completa fica
(x - y + z)^2-4x+4y-4z+1=0
Observamos que o termo linear -4x+4y-4z é -4,(x-y+z). Definindo
t = x - y + z,
a equação vira
t^2-4t+1=0

Passo 4

Fazendo o completamento de quadrado em t:
t^2-4t+1 = (t-2)^2-4+1 = (t-2)^2-3
Então a equação t^2-4t+1=0 é equivalente a
(t-2)^2 = 3,
que dá
t-2 = pmraiz3 Longrightarrow t = 2pmraiz3

Passo 5

Voltando à variável original, t=x-y+z, concluímos que a quádrica se decompõe em duas equações lineares independentes:
x - y + z = 2 + raiz3 e x - y + z = 2 - raiz3
Cada uma delas é um plano no espaço, e como os dois planos têm o mesmo vetor normal u=(1,-1,1), eles são planos paralelos distintos.

Resposta

A quádrica é o conjunto união de dois planos paralelos dados por
x - y + z = 2 + raiz3 e x - y + z = 2 - raiz3

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