Verifique que
é normal. Encontre uma matriz unitária
tal que
seja diagonal e calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede dois objetivos: primeiro verificar que
é normal, ou seja
e depois encontrar uma matriz unitária
que diagonaliza
, ou seja, tal que
fique diagonal. Para isso vamos precisar usar a definição de matriz normal e calcular autovalores e autovetores de
, escolhendo uma base ortonormal de vetores próprios.]
Passo 2
Calculemos a adjunta de
:
Agora
De modo idêntico obtém-se
Como
, concluímos que
é normal.]
Passo 3
Para achar os autovalores resolvemos
Isto dá
Passo 4
Agora os autovetores:
Para
, a equação
vira
Podemos escolher
. Normalizando:
logo
Para
, resolvemos
Tomamos
e normalizamos:
Passo 5
Como
é uma base ortonormal de vetores próprios, a matriz unitária que os tem como colunas é
Então de fato
que é a forma diagonal.]