Verifique que A=(cc2 & i i & 2) é normal. Encontre uma matriz unitária P tal que P^* A P seja diagonal e calcule P^* A P.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 2 & i [6pt] i & 2
e pede dois objetivos: primeiro verificar que A é normal, ou seja
A,A^* = A^*A,
e depois encontrar uma matriz unitária P que diagonaliza A, ou seja, tal que
P^* A P
fique diagonal. Para isso vamos precisar usar a definição de matriz normal e calcular autovalores e autovetores de A, escolhendo uma base ortonormal de vetores próprios.]

Passo 2

Calculemos a adjunta de A:
A^* = 2 & -,i [4pt] -,i & 2
Agora
A,A^* = 2 & i [3pt] i & 2 2 & -,i [3pt] -,i & 2 = 4 + (i)(-,i) & -2,i + 2,i [4pt] 2,i -2,i & (i)(-,i)+4 = 5 & 0 [4pt] 0 & 5
De modo idêntico obtém-se
A^*A = 5 & 0 [3pt] 0 & 5
Como A,A^* = A^*A, concluímos que A é normal.]

Passo 3

Para achar os autovalores resolvemos
detl(A - lambda Ir) = det2-lambda & i [3pt] i & 2-lambda = (2-lambda)^2 - i^2 = (2-lambda)^2 + 1 = 0
Isto dá
2 - lambda = pm i Longrightarrow lambda1 = 2 + i, lambda2 = 2 - i ]

Passo 4

Agora os autovetores:
Para , a equação vira
Podemos escolher . Normalizando:
logo
Para , resolvemos
Tomamos e normalizamos:
]

Passo 5

Como u1,u2 é uma base ortonormal de vetores próprios, a matriz unitária que os tem como colunas é
P = u1&u2 = 1raiz2 1 & 1 [4pt] 1 & -1
Então de fato
P^* A P = 2+i & 0 [4pt] 0 & 2-i,
que é a forma diagonal.]

Resposta

P = 1raiz2 1 & 1 [4pt] 1 & -1, P^* A P = 2+i & 0 [4pt] 0 & 2-i ]

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