Mostre que uma matriz triangular é normal se, e somente se, ela é diagonal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma matriz triangular Ain Mn(C) é normal (isto é, satisfaz ,A,A^*=A^*A) se, e somente se, ela é diagonal. Vamos usar duas ideias principais:
  1. A caracterização de matriz normal pela igualdade de norma |A x|=|A^*x| para todo vetor x.
  2. Um argumento por indução na dimensão n, eliminando sucessivamente as entradas acima da diagonal usando o vetor canônico e1.

Passo 2

Base da indução ( n=1).
Se A é 1times1 e triangular, então A=(a11) e já é diagonal. Além disso qualquer escalar a11 satisfaz a11a11=a11a11, logo é normal.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que o resultado valha para todas as matrizes (n-1)times(n-1). Seja agora
A = (aij)i,j=1^n
uma matriz ntimes n superior triangular e normal. Considere o vetor canônico ,e1=(1,0,dots,0)^T.
Como A é triangular superior,
A,e1 = a110vdots0,
logo
|A,e1|^2 = |a11|^2
Por outro lado, A^* é triangular inferior e
A^*e1 = a11 a12 vdots a1n ,
de modo que
|A^*e1|^2 =|a11|^2+sumk=2^n|a1k|^2
Como A é normal, |A,e1|=|A^*e1|, daí
|a11|^2 =|a11|^2+sumk=2^n|a1k|^2 Longrightarrow a1k=0(forall k>1)
Portanto na primeira linha só fica a11 e todas as entradas acima da diagonal naquela linha se anulam.

Passo 4

Agora vemos que o subespaço gerado por e2,dots,en é invariante por A e por A^*, e o bloco (n-1)times(n-1) que sobra é ainda triangular superior e normal. Pela hipótese de indução ele é diagonal. Concluímos então que A é da forma
A= a11 & D ,
onde D é diagonal. Logo A é diagonal.

Passo 5

Recíproco trivial. Se A é diagonal, A,A^* e A^*A são iguais entrada a entrada, portanto A é normal.

Resposta

Uma matriz triangular é normal se, e somente se, ela é diagonal.

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