Mostre que uma matriz triangular é normal se, e somente se, ela é diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma matriz triangular é normal (isto é, satisfaz ) se, e somente se, ela é diagonal. Vamos usar duas ideias principais:
A caracterização de matriz normal pela igualdade de norma para todo vetor .
Um argumento por indução na dimensão , eliminando sucessivamente as entradas acima da diagonal usando o vetor canônico .
Passo 2
Base da indução ().
Se é e triangular, então e já é diagonal. Além disso qualquer escalar satisfaz , logo é normal.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que o resultado valha para todas as matrizes (n-1)times(n-1). Seja agora
A = (aij)i,j=1^n
uma matriz ntimes n superior triangular e normal. Considere o vetor canônico ,e1=(1,0,dots,0)^T.
Como A é triangular superior,
Portanto na primeira linha só fica a11 e todas as entradas acima da diagonal naquela linha se anulam.
Passo 4
Agora vemos que o subespaço gerado por e2,dots,en é invariante por A e por A^*, e o bloco (n-1)times(n-1) que sobra é ainda triangular superior e normal. Pela hipótese de indução ele é diagonal. Concluímos então que A é da forma
A= a11 & D ,
onde D é diagonal. Logo A é diagonal.
Passo 5
Recíproco trivial. Se A é diagonal, A,A^* e A^*A são iguais entrada a entrada, portanto A é normal.
Resposta
Uma matriz triangular é normal se, e somente se, ela é diagonal.