O recorde mundial feminino do arremesso de peso (esfera sólida metálica de 4 kg e 9 cm de diâmetro), pertence à soviética Natalya Lisovskaya, que em 1987 lançou a esfera à 22,63 m de distância. Sabendo que o peso partiu de uma altura de 1,8 m, sob um ângulo de 45^circ, determine a velocidade com que o peso deixou a mão da atleta;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o arremesso de peso, que é um lance de física envolvendo movimento de projéteis. A gente precisa determinar a velocidade inicial com que a atleta lançou a esfera. Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas de movimento horizontal e vertical de projéteis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Distância horizontal (alcance) $ R = 22,63 , m $
  • Altura inicial de onde o peso foi lançado $ h = 1,8 , m $
  • Ângulo de lançamento $ \theta = 45^\circ $
  • Aceleração da gravidade $ g = 9,8 , m/s^2 $

Passo 3

Vamos lembrar que a velocidade inicial pode ser decomposta nas componentes horizontal e vertical. Como o ângulo é $ 45^\circ $, as componentes da velocidade inicial $ v_0 $ são iguais:
45^circ
v0
E sabemos que $ \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Passo 4

A distância horizontal $ R $ é dada por:
R
Onde $ t $ é o tempo total de voo. Então:
R = v0x cdot t
Substituindo $ v_{0x} $:
t

Passo 5

Agora, vamos analisar o movimento vertical. A esfera é lançada para cima e cai de uma altura inicial $ h $. A posição vertical no tempo $ t $ é dada por:
h
Na aterrissagem, $ y(t) = 0 $:
t

Passo 6

Substituímos $ t $ da equação anterior:
t
Simplificando:
0 = h + v0 cdot raiz22 cdot 2Rv0 raiz2 - 12 g (2Rv0 raiz2)^2
0 = h + R - 12 g cdot 4R^22 v0^2

Passo 7

Isolando $ v_0^2 $:
v0^2
g R^2v0^2 = h + R

Passo 8

Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar $ v_0 $:
v0
Agora é só substituir os valores:
v0 = raizg R^2h + R

Resposta

A velocidade inicial com que o peso deixou a mão da atleta é aproximadamente $ 14,77 , m/s $.

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