Escolha uma partição com n pontos e pontos \left(c_{i}\right)_{i=1}^{n} e calcule uma soma de Riemann para as seguintes funções:
h(u)=2^{x} em [-1,2] para n=6

Passo 1

O enunciado pede para computar uma soma de Riemann para h(x)=2^{x} no intervalo [-1,2] usando n=6 subintervalos. Vamos precisar:
  1. Definir a partição com n=6
  2. Calcular \Delta x
  3. Escolher pontos de amostragem c_i
  4. Aplicar
S_n \;=\;\sum_{i=1}^{n}h(c_i)\,\Delta x.

Passo 2

O comprimento total do intervalo é 2-(-1)=3. Logo,
\Delta x \;=\;\frac{3}{6} \;=\;\frac12.

Passo 3

Construímos a partição uniforme com seis subintervalos:
x_0=-1,\;x_1=-\tfrac12,\;x_2=0,\;x_3=\tfrac12,\;x_4=1,\;x_5=\tfrac32,\;x_6=2.

Passo 4

Escolhemos os pontos de amostragem como os pontos médios de cada subintervalo:
c_i=\frac{x_{i-1}+x_i}{2},
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c_1=-\tfrac34,\;c_2=-\tfrac14,\;c_3=\tfrac14,\;c_4=\tfrac34,\;c_5=\tfrac54,\;c_6=\tfrac74.

Passo 5

Pela definição da soma de Riemann,
S \;=\;\sum_{i=1}^{6}h(c_i)\,\Delta x \;=\;\frac12\sum_{i=1}^{6}2^{c_i} \;=\;\frac12\Bigl(2^{-\tfrac34}+2^{-\tfrac14}+2^{\tfrac14}+2^{\tfrac34}+2^{\tfrac54}+2^{\tfrac74}\Bigr).

Passo 6

Para ver um valor aproximado, calculamos numericamente:
2^{-\tfrac34}\approx0,5946,\;2^{-\tfrac14}\approx0,8409,\;2^{\tfrac14}\approx1,1892,\;2^{\tfrac34}\approx1,6818,
2^{\tfrac54}\approx2,3784,\;2^{\tfrac74}\approx3,3636,
soma interna \approx10,0476 e
S\approx\frac12\cdot10,0476=5,0238.

Resposta

S \;=\;\frac12\Bigl(2^{-\tfrac34}+2^{-\tfrac14}+2^{\tfrac14}+2^{\tfrac34}+2^{\tfrac54}+2^{\tfrac74}\Bigr)\approx5,024.

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