Use o critério da Raíz ou de Cauchy, para determinar a natureza das séries.
\sum_{n=1}^{\infty}(1-e^{-n})^{n}

Passo 1

Temos a série
\sum_{n=1}^{\infty}(1-e^{-n})^{n}.
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas e vamos usar o critério da raiz de Cauchy (ou raiz n-ésima).

Passo 2

Aplicando o critério da raiz, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|(1-e^{-n})^{n}\bigr|} = \lim_{n\to\infty}(1-e^{-n}) = 1.

Passo 3

Como L=1, o critério da raiz é inconclusivo. Então examinamos o termo geral. Seja
a_{n} = (1-e^{-n})^{n}.
Tomando logaritmo:
\ln a_{n} = n\,\ln(1-e^{-n}) \sim n\bigl(-e^{-n}\bigr) = -n e^{-n} \xrightarrow[n\to\infty]{}0.
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\lim_{n\to\infty}a_{n} = \exp\bigl(\lim_{n\to\infty}\ln a_{n}\bigr) = e^{0} = 1.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0, a série diverge pelo teste da divergência (termo geral).

Resposta

A série diverge.

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