Recorrendo ao critério de Leibniz quais das séries seguintes são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \sqrt{n}}{n+50}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\sqrt{n}}{n+50}
usando o critério de Leibniz, que exige verificar três condições sobre
b_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n+50}:
  1. b_{n}>0,
  2. (b_{n}) decrescente,
  3. \lim_{n\to\infty}b_{n}=0.

Passo 2

Primeiro, b_{n}>0 é imediato. Em seguida, calculamos o limite de b_{n}:
\lim_{n\to\infty}b_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+50} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/2}}{n\,(1+50/n)} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\,(1+50/n)} = 0.

Passo 3

Para ver que (b_{n}) é decrescente a partir de certo n, considere
f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+50}.
Sua derivada é
f'(x) = \frac{\tfrac12x^{-1/2}(x+50) - \sqrt{x}}{(x+50)^2} = \frac{50 - x}{2\sqrt{x}\,(x+50)^2},
que fica negativa para x>50. Logo, b_{n}=f(n) decresce para n\ge51. Para os primeiros 50 termos basta verificar numericamente que não há quebra de monotonicidade relevante.

Passo 4

Como b_{n}>0, (b_{n}) é decrescente a partir de n=51 e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, pelo critério de Leibniz a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}b_{n}
converge.

Passo 5

Para a convergência absoluta, note que
b_{n}\sim\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}},
e a série \sum1/\sqrt{n} (p-série com p=\tfrac12<1) diverge. Portanto, a convergência é apenas condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz e diverge em módulo (não é absolutamente convergente).

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