Recorrendo ao critério de Leibniz quais das séries seguintes são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
usando o critério de Leibniz, que exige verificar três condições sobre
-
, -
decrescente, -
.
Passo 2
Primeiro,
é imediato. Em seguida, calculamos o limite de
:
Passo 3
Para ver que
é decrescente a partir de certo
, considere
Sua derivada é
que fica negativa para
. Logo,
decresce para
. Para os primeiros 50 termos basta verificar numericamente que não há quebra de monotonicidade relevante.
Passo 4
Como
,
é decrescente a partir de
e
, pelo critério de Leibniz a série
converge.
Passo 5
Para a convergência absoluta, note que
e a série
(p-série com
) diverge. Portanto, a convergência é apenas condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz e diverge em módulo (não é absolutamente convergente).