Recorrendo ao critério de Leibniz quais das séries seguintes são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}}
usando o critério de Leibniz para séries alternadas. Segundo esse critério, sejam a_n\ge0 tais que
  1. a_{n+1}\le a_n para todo n suficientemente grande,
  2. \lim_{n\to\infty}a_n=0.
    Então a série \sum(-1)^{n-1}a_n converge.

Passo 2

Identificamos a_n = \frac{1}{n^3}.
  1. Para verificar a monotonia, note que a função f(x)=x^{-3} tem derivada
f'(x)=-3\,x^{-4}<0
para x>0. Logo a_{n+1}=1/(n+1)^3 < 1/n^3 = a_n.
2. Claramente
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3} = 0.

Passo 3

Como a_n é positiva, decrescente e tende a zero, pelo critério de Leibniz a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}}
converge.

Passo 4

Adicionalmente, pelo teste da série-p com p=3>1, a série de termos absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n-1}}{n^3}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}
também converge, o que implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é convergente (de fato, converge absolutamente).

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