Se X \sim N(2,5). Calcular a P(1 \leq X \leq 7);

Passo 1

O enunciado dá que X tem distribuição normal e pede a probabilidade entre dois pontos. Dados e pergunta, explicitamente:
  • X \sim N(2,5).
  • Calcular \;P(1 \leq X \leq 7).
Observação: aqui estamos assumindo a notação habitual N(\mu,\sigma^{2}), ou seja, \mu=2 e \sigma^{2}=5. Portanto \sigma=\sqrt{5}. Não começo a resolver ainda; só registrei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Relembrando o conceito importante (aula rápida): se X é normal com média \mu e variância \sigma^{2}, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^{2}). Para calcular probabilidades do tipo P(a\le X\le b) usamos a padronização para a normal padrão Z\sim N(0,1). A padronização é a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma o desvio-padrão. Isso transforma qualquer normal em uma normal padrão, cujas probabilidades estão tabuladas (tabela \Phi(z)=P(Z\le z)).

Passo 3

Aplicando a padronização ao nosso problema: queremos
P(1\le X\le 7)=P\!\Big(\frac{1-\mu}{\sigma}\le Z\le\frac{7-\mu}{\sigma}\Big).
Aqui \mu=2 e \sigma=\sqrt{5}. Substituindo, obtemos os z-scores (os limites padronizados).

Passo 4

Calcular os z-scores passo a passo:
  • Para o limite inferior x=1:
z_{1}=\frac{1-\mu}{\sigma}=\frac{1-2}{\sqrt{5}}=\frac{-1}{\sqrt{5}}.
Como \sqrt{5}\approx 2{,}2360679, temos
z_{1}\approx \frac{-1}{2{,}2360679}\approx -0{,}4472136.
  • Para o limite superior x=7:
z_{2}=\frac{7-\mu}{\sigma}=\frac{7-2}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}.
Portanto
z_{2}\approx 2{,}2360679.

Passo 5

Agora reescrevemos a probabilidade em termos da normal padrão:
P(1\le X\le 7)=P(z_{1}\le Z\le z_{2})=\Phi(z_{2})-\Phi(z_{1}),
onde \Phi(t)=P(Z\le t) é a função de distribuição da normal padrão.

Passo 6

Usamos a simetria da normal padrão para simplificar \Phi(z_{1}) porque z_{1} é negativo. A propriedade é
\Phi(-a)=1-\Phi(a)\quad\text{para }a>0.
Aqui z_{1}=-0{,}4472136, então
\Phi(z_{1})=\Phi(-0{,}4472136)=1-\Phi(0{,}4472136).

Passo 7

Agora consultamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora de \Phi). Valores aproximados (interpolando tabela):
  • \Phi(0{,}4472136)\approx 0{,}6726.
  • \Phi(2{,}2360679)\approx 0{,}9873.
Logo
\Phi(z_{1})\approx 1-0{,}6726=0{,}3274
e
\Phi(z_{2})\approx 0{,}9873.

Passo 8

Finalmente calculamos a probabilidade pedida:
P(1\le X\le 7)=\Phi(z_{2})-\Phi(z_{1})\approx 0{,}9873-0{,}3274=0{,}6599.
Arredondando, isto é aproximadamente 0{,}66. Força aí — esse tipo de padronização e uso da tabela é padrão em prova; treina alguns exemplos parecidos que você decorou o procedimento.

Resposta

0{,}6599 (aprox.)

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