Em uma rede de computadores, os usuários podem escolher entre dois tipos de dispositivos para acessar os serviços: um dispositivo de alto desempenho (servidor) ou um dispositivo de baixo desempenho (cliente). 20 % dos usuários homens preferem usar servidores, enquanto 30 % das mulheres preferem usar clientes. 75 % dos usuários da rede são homens. Um usuário é escolhido aleatoriamente. Considere os seguintes eventos: H: O usuário é homem. M: O usuário é mulher. A: O usuário prefere usar servidor. B: O usuário prefere usar cliente.
Com base nas informações acima, calcule as seguintes probabilidades:
P(H cap A), P(A mid H), P(H cup B), P(A)

Passo 1

Beleza, vamos resumir rapidinho o que o problemas pede e que conceitos a gente vai usar:
  • Temos dois grupos de usuário: homens (H) e mulheres (M).
  • P(H)=75% (0,75) e P(M)=25% (0,25).
  • Dentre os homens, 20% (0,20) preferem servidor (evento A), então P(A|H)=0,20.
  • Dentre as mulheres, 30% preferem cliente (evento B), logo P(B|M)=0,30 ⇒ P(A|M)=0,70.
  • Também vale P(B|H)=1–P(A|H)=0,80.
O que nos pedem:
  1. P(H ∩ A) – probabilidade do usuário ser homem e preferir servidor.
  2. P(A|H) – já é 0,20, mas a gente confirma pelo conceito de probabilidade condicional.
  3. P(H ∪ B) – probabilidade do usuário ser homem ou preferir cliente.
  4. P(A) – probabilidade geral de preferir servidor.
Para resolver vamos usar:
  • Regra do produto: P(H ∩ A)=P(H)·P(A|H).
  • Definição de condicional: P(A|H)=P(H ∩ A)/P(H).
  • União: P(H ∪ B)=P(H)+P(B)–P(H ∩ B).
  • Probabilidade total: P(A)=P(H)·P(A|H)+P(M)·P(A|M).

Passo 2

Calcular P(H ∩ A) pela regra do produto:
P(H cap A) ;=; P(H),cdot,P(Amid H) ;=; 0,75 times 0,20 = 0,15

Passo 3

Verificar P(A|H) pela definição de probabilidade condicional:
P(Amid H) ;=; P(H cap A)P(H) ;=; 0,150,75 = 0,20
Isso bate com os 20% que o enunciado deu.

Passo 4

Calcular P(H ∪ B). Primeiro P(B) (cliente), pela probabilidade total:
P(B) = P(H),P(Bmid H) + P(M),P(Bmid M) = 0,75times0,80 + 0,25times0,30 = 0,60 + 0,075 = 0,675
Depois P(H ∩ B)=P(H)·P(B|H)=0,75·0,80=0,60.
Agora a união:
P(H cup B) = P(H) + P(B) - P(H cap B) = 0,75 + 0,675 - 0,60 = 0,825

Passo 5

Calcular P(A) (preferir servidor) pela lei da probabilidade total:
P(A) = P(H),P(Amid H) + P(M),P(Amid M) = 0,75times0,20 + 0,25times0,70 = 0,15 + 0,175 = 0,325

Resposta

P(H ∩ A)=0,15;
P(A|H)=0,20;
P(H ∪ B)=0,825;
P(A)=0,325.

Exercícios relacionados