Uma rede de difração com 180 ranhuras/mm é iluminada com uma luz que contém apenas dois comprimentos de onda, \lambda_{1}= 400 nm e \lambda_{2}=500 \mathrm{~nm}. O sinal incide perpendicularmente na rede.
Quanto vale a dispersão da rede para a primeira ordem de difração do comprimento de onda \lambda_{1} ? Sabendo que a rede tem 1 cm de largura e que todas as ranhuras são iluminadas no experimento, quanto qual é a resolução dessa rede para a segunda ordem de difração do comprimento de onda \lambda_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá uma rede de difração com 180 ranhuras/mm iluminada com dois comprimentos de onda ( \lambda_{1}=400 nm e \lambda_{2}=500 nm) sob incidência normal. Pede (a) a dispersão angular para a primeira ordem de \lambda_{1} e (b) o poder de resolução para a segunda ordem de \lambda_{2}, sabendo que a largura iluminada da rede é 1 cm. Vamos usar a equação de rede
m\,\lambda = d\,\sin\theta
para achar o ângulo \theta e sua derivada d\theta/d\lambda, e a fórmula do poder de resolução
R = m\,N_{\rm tot},
onde N_{\rm tot} é o número de ranhuras iluminadas.

Passo 2

Calcular o espaçamento entre ranhuras. A densidade é 180 ranhuras/mm, ou seja
d = \frac{1}{180\;\text{mm}^{-1}} = \frac{1\times10^{-3}\,\text{m}}{180} = 5{,}556\times10^{-6}\,\text{m}.
Na primeira ordem m=1 e para \lambda_{1}=400 nm temos
\sin\theta_{1} \;=\;\frac{1\cdot\lambda_{1}}{d} =\frac{400\times10^{-9}}{5{,}556\times10^{-6}} \approx0{,}0720
e portanto
\theta_{1} = \arcsin(0{,}0720)\approx4{,}13^\circ, \cos\theta_{1}\approx\cos4{,}13^\circ=0{,}997.

Passo 3

A dispersão angular é
D \;=\;\frac{d\theta}{d\lambda} =\frac{m}{d\,\cos\theta} \quad\Longrightarrow\quad D=\frac{1}{5{,}556\times10^{-6}\times0{,}997} \approx1{,}80\times10^{5}\,\text{rad/m}.
Para expressar em rad/nm basta multiplicar por 10^{-9}:
D\approx1{,}80\times10^{-4}\,\frac{\text{rad}}{\text{nm}} \quad\text{(primeira ordem de \(\lambda_{1}\)).}

Passo 4

Calcular o número total de ranhuras iluminadas. A largura iluminada é 1 cm = 10 mm, logo
N_{\rm tot} = (180\;\text{ranhuras/mm})\times(10\;\text{mm}) = 1800\;\text{ranhuras}.
Para a segunda ordem m=2 o poder de resolução é
R = m\,N_{\rm tot} = 2\times1800 = 3600.

Resposta

Dispersão na primeira ordem de \lambda_{1}:
D = \frac{d\theta}{d\lambda}\approx1{,}80\times10^{-4}\,\frac{\text{rad}}{\text{nm}}.
Resolução da rede na segunda ordem de \lambda_{2}:
R = 3600.

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