Prove que, em meios lineares isotrópicos sem cargas livres, as equações de Maxwell implicam que os campos
e
de uma onda plana são perpendiculares entre si e à direção de propagação
. Use a forma de fasores e as relações de dispersão para demonstrar essa ortogonalidade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em meios lineares isotrópicos sem cargas livres, os campos elétrico
e magnético
de uma onda plana são perpendiculares entre si e também à direção de propagação
. O conteúdo principal envolve as equações de Maxwell no domínio da frequência (forma de fasores), as condições de não-existência de carga livre
,
e a relação de dispersão que conecta
,
,
e
.
Passo 2
Escrevemos as equações de Maxwell em fasores, usando
e
, sem cargas livres nem correntes livres:
Passo 3
Aplicamos
na equação
. Do lado esquerdo vale a identidade vetorial
Como
e
é constante, segue
. Portanto
e obtemos a equação de onda
Passo 4
Para uma onda plana em fasor, usamos o ansatz
Nesse caso
e
. Substituindo na equação de onda dá
que é a relação de dispersão.
Passo 5
Agora usamos as equações de divergência em forma algébrica:
Logo
e
.
Passo 6
Finalmente, da equação de curl em fasores
Fazendo produto escalar com
obtemos
porque
. Portanto
.
Resposta
Os vetores
,
e
formam um tripé ortogonal:
,
e
.