Prove que, em meios lineares isotrópicos sem cargas livres, as equações de Maxwell implicam que os campos \vec{E} e \vec{B} de uma onda plana são perpendiculares entre si e à direção de propagação \vec{k}. Use a forma de fasores e as relações de dispersão para demonstrar essa ortogonalidade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em meios lineares isotrópicos sem cargas livres, os campos elétrico \vec{E} e magnético \vec{B} de uma onda plana são perpendiculares entre si e também à direção de propagação \vec{k}. O conteúdo principal envolve as equações de Maxwell no domínio da frequência (forma de fasores), as condições de não-existência de carga livre \nabla\cdot\vec D=0, \nabla\cdot\vec B=0 e a relação de dispersão que conecta \omega, \vec k, \epsilon e \mu.

Passo 2

Escrevemos as equações de Maxwell em fasores, usando \vec D=\epsilon\,\vec E e \vec B=\mu\,\vec H, sem cargas livres nem correntes livres:
\nabla\cdot\vec D=0,\quad \nabla\cdot\vec B=0,
\nabla\times\vec E=-\,j\omega\,\vec B, \quad \nabla\times\vec H= j\omega\,\vec D.

Passo 3

Aplicamos \nabla\times na equação \nabla\times\vec E=-j\omega\vec B. Do lado esquerdo vale a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times\vec E) =\nabla(\nabla\cdot\vec E)-\nabla^2\vec E.
Como \nabla\cdot\vec D=0 e \epsilon é constante, segue \nabla\cdot\vec E=0. Portanto
-\nabla^2\vec E =-\,j\omega\,\nabla\times\vec B =-\,j\omega\,\mu\,\nabla\times\vec H =-\,j\omega\,\mu\,(j\omega\,\vec D) =-\omega^2\,\mu\,\epsilon\,\vec E
e obtemos a equação de onda
\nabla^2\vec E+\omega^2\mu\epsilon\,\vec E=0.

Passo 4

Para uma onda plana em fasor, usamos o ansatz
\vec E(\vec r)=\vec E_0\,e^{j\vec k\cdot\vec r}, \quad \vec B(\vec r)=\vec B_0\,e^{j\vec k\cdot\vec r}.
Nesse caso \nabla\to j\vec k e \nabla^2\to -\,k^2. Substituindo na equação de onda dá
(-k^2+\omega^2\mu\epsilon)\,\vec E_0=0 \quad\Longrightarrow\quad k^2=\omega^2\,\mu\,\epsilon,
que é a relação de dispersão.

Passo 5

Agora usamos as equações de divergência em forma algébrica:
\nabla\cdot\vec D=0\;\Longrightarrow\;j\vec k\cdot(\epsilon\,\vec E_0)=0 \;\Longrightarrow\; \vec k\cdot\vec E_0=0,
\nabla\cdot\vec B=0\;\Longrightarrow\;j\vec k\cdot\vec B_0=0 \;\Longrightarrow\; \vec k\cdot\vec B_0=0.
Logo \vec E_0\perp\vec k e \vec B_0\perp\vec k.

Passo 6

Finalmente, da equação de curl em fasores
\nabla\times\vec E=-j\omega\vec B \;\Longrightarrow\; j\vec k\times\vec E_0=-j\omega\vec B_0 \;\Longrightarrow\; \vec k\times\vec E_0=\omega\,\vec B_0.
Fazendo produto escalar com \vec E_0 obtemos
\vec E_0\cdot(\vec k\times\vec E_0) =\omega\,\vec E_0\cdot\vec B_0 \quad\Longrightarrow\quad 0=\omega\,\vec E_0\cdot\vec B_0
porque \vec a\cdot(\vec b\times\vec a)=0. Portanto \vec E_0\perp\vec B_0.

Resposta

Os vetores \vec E, \vec B e \vec k formam um tripé ortogonal: \vec E\perp\vec B, \vec E\perp\vec k e \vec B\perp\vec k.

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