1. Para um experimento de fenda dupla, mostre que a intensidade de luz em um determinado ponto P no padrão formado é descrita por
    I=4 I_{0} \cos ^{2} \frac{\varphi}{2},
    onde \emptyset=\frac{2 \pi d}{\lambda} \operatorname{sen} \theta é a diferença de fase entre as duas ondas que interferem no ponto P, \lambda é o comprimento de onda da luz, \theta é o ângulo formado entre o a o raio de luz que chega no ponto P e o eixo central, d é a distância entre as fendas e I_{0} é a intensidade das duas ondas que interferem formando o padrão.

Passo 1

O enunciado trata de interferência de duas ondas coerentes que saem de duas fendas separadas por uma distância d e encontram-se em um ponto P num ângulo \theta em relação ao eixo central. Queremos usar a superposição de campos elétricos e a relação entre amplitude e intensidade para mostrar que
I = 4\,I_{0}\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\varphi}{2}\bigr),
onde \varphi é a diferença de fase entre as duas ondas.

Passo 2

Modelamos cada onda elétrica no ponto P por
E_{1}(t) = E_{0}\,\cos\bigl(\omega t\bigr), \quad E_{2}(t) = E_{0}\,\cos\bigl(\omega t + \varphi\bigr),
com mesma frequência \omega e mesma amplitude E_{0}. Aqui \varphi é a diferença de fase entre as ondas.

Passo 3

Aplicamos a identidade trigonométrica
\cos A + \cos B = 2\,\cos\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr)
em E(t)=E_{1}(t)+E_{2}(t). Isso dá
E(t) = 2\,E_{0}\,\cos\!\bigl(\tfrac{\omega t + (\omega t+\varphi)}{2}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{\omega t - (\omega t+\varphi)}{2}\bigr) = 2\,E_{0}\,\cos\!\bigl(\omega t + \tfrac{\varphi}{2}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{\varphi}{2}\bigr).

Passo 4

A intensidade média da luz é proporcional ao quadrado da amplitude resultante, isto é,
I \propto \langle E^{2}(t)\rangle = \bigl(2\,E_{0}\cos\tfrac{\varphi}{2}\bigr)^{2}\,\langle\cos^{2}(\omega t+\tfrac{\varphi}{2})\rangle.
Como em média \langle\cos^{2}(\omega t+\dots)\rangle=1/2, temos
I = 2\,E_{0}^{2}\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\varphi}{2}\bigr).
Mas cada fenda isolada produz intensidade I_{0}\propto\tfrac12\,E_{0}^{2}, logo E_{0}^{2}=2\,I_{0} e
I = 2\,(2\,I_{0})\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\varphi}{2}\bigr) = 4\,I_{0}\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\varphi}{2}\bigr).

Passo 5

A diferença de fase \varphi decorre da diferença de caminho óptico d\sin\theta entre as duas ondas, ou seja,
\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,d\,\sin\theta.

Resposta

I = 4\,I_{0}\,\cos^{2}\!\Bigl(\frac{\varphi}{2}\Bigr), \quad \varphi = \frac{2\pi\,d}{\lambda}\,\sin\theta.

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