Uma rede de difração com 20 mm de largura possui 6000 ranhuras. (a) Calcule a distância d entre ranhuras vizinhas. (b) Para que ângulos \theta ocorrerão os 2 primeiros máximos de ’ intensidade em uma tela de observação se a radiação incidente na rede de difração tiver um comprimento de onda de 589 nm? c) Qual a posição no anteparo do primeiro máximo (depois do máximo central)?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vamos organizar direitinho para não perder tempo na hora da prova):
  • Dados fornecidos:
    • Largura total da grade: W = 20\\ \text{mm}.
    • Número de ranhuras (golpes) na grade: N = 6000.
    • Comprimento de onda da radiação: \lambda = 589\\ \text{nm}.
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Calcular a distância d entre ranhuras vizinhas.
    • (b) Para quais ângulos \theta ocorrerão os dois primeiros máximos de intensidade na tela (ou seja, os primeiros máximos além do máximo central) para \lambda=589\\ \text{nm}.
    • (c) Qual a posição no anteparo (na tela) do primeiro máximo depois do central?
Observação importante: o enunciado não dá a distância entre a grade e o anteparo (vamos chamar essa distância de L). Para calcular uma posição numérica no anteparo é preciso saber L. Se L não for fornecido, só podemos dar a expressão geométrica que relaciona a posição com L.

Passo 2

(a) Calcular a distância entre ranhuras vizinhas d.
  • Conceito e fórmula: se uma grade tem N ranhuras distribuídas uniformemente ao longo de uma largura W, a separação entre ranhuras é
d=\frac{W}{N}.
Aqui W é a largura total e N é o número de ranhuras contadas ao longo dessa largura; d tem a mesma unidade de W.
  • Conversão de unidades (sempre importante fazer isso com calma na prova):
    • W=20\\ \text{mm}=20\times10^{-3}\\ \text{m}=0{,}02\\ \text{m}.
    • N=6000 (adimensional).
  • Substituindo:
d=\frac{0{,}02}{6000}\\ \text{m}.
Faço a divisão passo a passo: 0{,}02/6000 = 0{,}02 \times (1/6000) = 0{,}02 \times 1{,}666\ldots\times10^{-4} = 3{,}333\ldots\times10^{-6}\\ \text{m}.
  • Resultado arredondado com notação conveniente:
d \approx 3{,}33\times10^{-6}\\ \text{m} = 3{,}33\\ \mu\text{m}.
Explicação curta: d é a distância entre duas ranhuras adjacentes; você a usará na condição de máximos da grade.

Passo 3

(b) Explicar a condição para máximos de intensidade numa grade de difração e como aplicá-la.
  • Conceito-chave (faça um mini-resumo mental para a prova): para uma grade de difração com espaçamento d a condição para que a luz difratada por ranhuras vizinhas interfira construtivamente (produza máximos bem definidos) é que a diferença de percurso entre ondas vindas de ranhuras adjacentes seja um múltiplo inteiro do comprimento de onda. Isso leva à equação da grade:
d\sin\theta = m\,\lambda,
onde:
  • d é o espaçamento entre ranhuras (já calculado),
  • \theta é o ângulo de difração medido a partir da normal à grade,
  • \lambda é o comprimento de onda,
  • m é a ordem do máximo (inteiro: m=0,\pm1,\pm2,\dots). m=0 é o máximo central; m=1 é o primeiro máximo lateral, etc.
  • Observação prática: para existir um máximo de ordem m é necessário que |\sin\theta|\le1, ou seja m\lambda\le d.

Passo 4

(b) Calcular explicitamente os ângulos dos dois primeiros máximos (além do central), isto é m=1 e m=2.
  • Primeiro converto \lambda para metros:
    \lambda = 589\\ \text{nm} = 589\times10^{-9}\\ \text{m} = 5{,}89\times10^{-7}\\ \text{m}.
  • Para m=1:
    \sin\theta_1 = \frac{1\cdot\lambda}{d} = \frac{5{,}89\times10^{-7}}{3{,}33\times10^{-6}}.
    Faço a divisão: \dfrac{5{,}89\times10^{-7}}{3{,}33\times10^{-6}} \approx 0{,}1767.
    Então
    \theta_1 = \arcsin(0{,}1767) \approx 10{,}17^\circ.
    (Na prova você pode usar calculadora científica para o arco-seno; como dica mental, \sin10^\circ é cerca de 0{,}1736, então o valor faz sentido.)
  • Para m=2:
    \sin\theta_2 = \frac{2\cdot\lambda}{d} = 2\times0{,}1767 \approx 0{,}3534.
    Então
    \theta_2 = \arcsin(0{,}3534) \approx 20{,}68^\circ.
  • Verificação rápida: como \sin\theta_2<1, o segundo máximo existe. Para m=3 teríamos \sin\theta_3\approx0{,}5301 (também <1), e assim por diante até o valor de m em que \sin\theta ultrapasse 1 — aí não existe mais máximo.

Passo 5

(c) Expressar a posição no anteparo do primeiro máximo (após o máximo central) e comentar sobre a falta de dado do enunciado.
  • Geometria simples (desenhe na prova): se a distância da grade ao anteparo é L (medida ao longo da normal), a posição y do máximo de ordem m medida a partir do máximo central é dada por
y_m = L\,\tan\theta_m.
Aqui \theta_m é o ângulo que calculamos acima para a ordem m. Esse resultado vem da trigonometria do triângulo retângulo formado entre a normal, a posição y e a reta de visão ao máximo.
  • Aplicando para o primeiro máximo ( m=1):
y_1 = L\,\tan\theta_1,
com \theta_1\approx10{,}17^\circ.
  • Importante: sem o valor numérico de L fornecido no enunciado não é possível obter um número para y_1. Então a resposta numérica depende de L. Exemplo ilustrativo (só para você ver como aplicar): se L=1{,}00\\ \text{m}, então
y_1 = 1{,}00\times\tan(10{,}17^\circ)\approx 0{,}179\\ \text{m}.
Mas esse valor é apenas um exemplo — o enunciado precisa informar L para obter a posição real no anteparo.

Passo 6

Resumo final (como você deve apresentar na prova):
  • Calcule d=W/N com unidades consistentes.
  • Use a equação d\sin\theta=m\lambda para achar os ângulos das ordens desejadas.
  • Para a posição no anteparo use y=L\tan\theta; sem L você só consegue a expressão, não um número.
Força aí — você já destrinchou a questão passo a passo; na prova faça as conversões de unidades com calma e cheque sempre se \sin\theta\le1.

Resposta

(a) d \approx 3{,}33\times10^{-6}\\ \text{m}.
(b) \theta_{1}\approx 10{,}17^\circ,\quad \theta_{2}\approx 20{,}68^\circ.
(c) Não é possível calcular numericamente sem a distância L do anteparo; posição do primeiro máximo: y_{1}=L\,\tan\theta_{1} (com \theta_{1}\approx10{,}17^\circ).

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