Uma rede de difração com 20 mm de largura possui 6000 ranhuras. (a) Calcule a distância d entre ranhuras vizinhas. (b) Para que ângulos
ocorrerão os 2 primeiros máximos de ’ intensidade em uma tela de observação se a radiação incidente na rede de difração tiver um comprimento de onda de 589 nm? c) Qual a posição no anteparo do primeiro máximo (depois do máximo central)?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vamos organizar direitinho para não perder tempo na hora da prova):
-
Dados fornecidos:
- Largura total da grade:
. - Número de ranhuras (golpes) na grade:
. - Comprimento de onda da radiação:
.
- Largura total da grade:
-
Perguntas do enunciado:
- (a) Calcular a distância
entre ranhuras vizinhas. - (b) Para quais ângulos
ocorrerão os dois primeiros máximos de intensidade na tela (ou seja, os primeiros máximos além do máximo central) para . - (c) Qual a posição no anteparo (na tela) do primeiro máximo depois do central?
- (a) Calcular a distância
Observação importante: o enunciado não dá a distância entre a grade e o anteparo (vamos chamar essa distância de
). Para calcular uma posição numérica no anteparo é preciso saber
. Se
não for fornecido, só podemos dar a expressão geométrica que relaciona a posição com
.
Passo 2
(a) Calcular a distância entre ranhuras vizinhas
.
- Conceito e fórmula: se uma grade tem
ranhuras distribuídas uniformemente ao longo de uma largura , a separação entre ranhuras é
Aqui
é a largura total e
é o número de ranhuras contadas ao longo dessa largura;
tem a mesma unidade de
.
-
Conversão de unidades (sempre importante fazer isso com calma na prova):
-
-
(adimensional).
-
-
Substituindo:
Faço a divisão passo a passo:
- Resultado arredondado com notação conveniente:
Explicação curta:
é a distância entre duas ranhuras adjacentes; você a usará na condição de máximos da grade.
Passo 3
(b) Explicar a condição para máximos de intensidade numa grade de difração e como aplicá-la.
- Conceito-chave (faça um mini-resumo mental para a prova): para uma grade de difração com espaçamento
a condição para que a luz difratada por ranhuras vizinhas interfira construtivamente (produza máximos bem definidos) é que a diferença de percurso entre ondas vindas de ranhuras adjacentes seja um múltiplo inteiro do comprimento de onda. Isso leva à equação da grade:
onde:
-
é o espaçamento entre ranhuras (já calculado), -
é o ângulo de difração medido a partir da normal à grade, -
é o comprimento de onda, -
é a ordem do máximo (inteiro: ). é o máximo central; é o primeiro máximo lateral, etc. -
Observação prática: para existir um máximo de ordem
é necessário que , ou seja .
Passo 4
(b) Calcular explicitamente os ângulos dos dois primeiros máximos (além do central), isto é
e
.
-
Primeiro converto
para metros: -
Para
: Faço a divisão:
Então(Na prova você pode usar calculadora científica para o arco-seno; como dica mental,é cerca de , então o valor faz sentido.) -
Para
: Então -
Verificação rápida: como
, o segundo máximo existe. Para teríamos (também <1), e assim por diante até o valor de em que ultrapasse 1 — aí não existe mais máximo.
Passo 5
(c) Expressar a posição no anteparo do primeiro máximo (após o máximo central) e comentar sobre a falta de dado do enunciado.
- Geometria simples (desenhe na prova): se a distância da grade ao anteparo é
(medida ao longo da normal), a posição do máximo de ordem medida a partir do máximo central é dada por
Aqui
é o ângulo que calculamos acima para a ordem
. Esse resultado vem da trigonometria do triângulo retângulo formado entre a normal, a posição
e a reta de visão ao máximo.
- Aplicando para o primeiro máximo (
):
com
.
- Importante: sem o valor numérico de
fornecido no enunciado não é possível obter um número para . Então a resposta numérica depende de . Exemplo ilustrativo (só para você ver como aplicar): se , então
Mas esse valor é apenas um exemplo — o enunciado precisa informar
para obter a posição real no anteparo.
Passo 6
Resumo final (como você deve apresentar na prova):
- Calcule
com unidades consistentes. - Use a equação
para achar os ângulos das ordens desejadas. - Para a posição no anteparo use
; sem você só consegue a expressão, não um número.
Força aí — você já destrinchou a questão passo a passo; na prova faça as conversões de unidades com calma e cheque sempre se
.
Resposta
(a)
.
(b)
(c) Não é possível calcular numericamente sem a distância do anteparo; posição do primeiro máximo:
(com
).
(b)
(c) Não é possível calcular numericamente sem a distância