A largura do máximo central em um padrão de fenda única é 5,4 \mathrm{~mm}. A luz tem um comprimento de onda de 584 nm e a tela está a 1,31 \mathrm{~m} da fenda. Qual é a largura da fenda?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a largura da fenda:
  • A largura do máximo central no padrão de difração por uma fenda única é 5,4\\ \mathrm{mm}.
  • O comprimento de onda da luz é \lambda=584\\ \mathrm{nm}.
  • A distância da fenda até a tela é L=1,31\\ \mathrm{m}.
    Pergunta: qual é a largura da fenda a?
Observação importante extraída do enunciado: a “largura do máximo central” significa a distância total entre as duas primeiras mínimas (uma à esquerda e outra à direita) do padrão. Vou usar essa informação no próximo passo.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): para difração por fenda única, as posições angulares \theta das mínimas são dadas por
a\sin(\theta)=m\lambda,
onde:
  • a é a largura da fenda (o que queremos encontrar),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz,
  • m é a ordem da mínima ( m=\pm1,\pm2,\ldots).
    A primeira mínima de cada lado corresponde a m=\pm1. Para a primeira mínima em um lado usamos m=1, ou seja
a\sin(\theta_1)=\lambda.
Explicando a geometria: se y_1 é a distância do centro do padrão até a primeira mínima na tela e L é a distância fenda–tela, então geometricamente
\tan(\theta_1)=\frac{y_1}{L}.
Como normalmente y_1\ll L, podemos usar a aproximação de ângulo pequeno \sin(\theta_1)\approx\tan(\theta_1)\approx\theta_1 (em radianos), então podemos substituir \sin(\theta_1)\approx y_1/L na fórmula da mínima.

Passo 3

Aplicando os números do enunciado: a largura total do máximo central é a distância entre as duas primeiras mínimas, ou seja 2y_1=5,4\\ \mathrm{mm}. Portanto
y_1=\frac{5,4\\ \mathrm{mm}}{2}=2,7\\ \mathrm{mm}.
Convertendo para metros (para consistência nas unidades):
y_1=2{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\qquad \lambda=584\times10^{-9}\\ \mathrm{m},\qquad L=1{,}31\\ \mathrm{m}.
Usando a\sin(\theta_1)=\lambda e \sin(\theta_1)\approx y_1/L, obtemos a fórmula prática:
a \approx \frac{\lambda L}{y_1}.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo:
Substituindo os valores em \displaystyle a\approx\frac{\lambda L}{y_1}:
a \approx \frac{(584\times10^{-9}\\ \mathrm{m})\times(1{,}31\\ \mathrm{m})}{2{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{m}}.
Primeiro calcule o numerador:
584\times10^{-9}\times1{,}31 = 765{,}04\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 7{,}6504\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Agora divida pelo denominador:
a \approx \frac{7{,}6504\times10^{-7}}{2{,}7\times10^{-3}} = 2{,}83348\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais fáceis de visualizar:
a \approx 2{,}83\times10^{-4}\\ \mathrm{m} = 0{,}283\\ \mathrm{mm}.
Pequena checagem da aproximação de ângulo pequeno: \theta_1\approx y_1/L = 2{,}7\times10^{-3}/1{,}31 \approx 2{,}06\times10^{-3}\\ \text{rad} (cerca de 0{,}12^\circ), então \sin(\theta_1) e \tan(\theta_1) são praticamente iguais a \theta_1 nessa ordem, logo a aproximação é válida.

Passo 5

Resumo e incentivo rápido: fizemos a ligação entre posição da mínima e a largura da fenda usando a fórmula de difração por fenda única e a aproximação de ângulo pequeno. Seguindo esses passos na prova você consegue transformar a medida do padrão na tela numa largura física da fenda. Vai dar certo — respira e confia no processo!

Resposta

a \approx 2{,}83\times10^{-4}\\ \mathrm{m} = 0{,}283\\ \mathrm{mm}

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