Uma câmara escura de orifício reproduz uma imagem de 10 cm de altura de uma árvore observada. Se reduzirmos em 15 m a distância horizontal da câmara à árvore, essa imagem passa a ter altura de 15 cm . a) Qual é a distância horizontal inicial da árvore à câmara? b) Ao se diminuir o comprimento da câmara, porém mantendo seu orifício à mesma distância da árvore, o que ocorre com a imagem formada? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma câmara escura de orifício que forma uma imagem de uma árvore. As informações e perguntas são:
  • A altura da imagem inicial é 0,10\\ \text{m} (peguei 10\\ \text{cm} do enunciado).
  • Ao reduzir-se em 15\\ \text{m} a distância horizontal da câmara até a árvore, a nova altura da imagem passa a ser 0,15\\ \text{m} (peguei 15\\ \text{cm} do enunciado).
  • Pergunta (a): qual é a distância horizontal inicial da árvore até a câmara? (vou chamar essa distância de D.)
  • Pergunta (b): se diminuirmos o comprimento da câmara (distância do orifício até o ecrã), mantendo o orifício à mesma distância da árvore, o que ocorre com a imagem formada? Justificar.
Não começo a resolver aqui; só organizei os dados e as incógnitas.

Passo 2

Modelo físico-matemático e ideia-chave (aula rápida e prática).
Num orifício simples a formação da imagem obedece a triângulos semelhantes: a árvore (objeto) e a sua imagem projetada no ecrã formam triângulos com vértice no orifício. Seja:
\;D = distância do objeto (árvore) ao orifício (em metros),
\;H = altura real do objeto (árvore) (em metros),
\;\ell = distância do orifício ao ecrã (comprimento da câmara) (em metros),
\;h = altura da imagem no ecrã (em metros).
Pela semelhança de triângulos obtemos a relação de proporcionalidade (magnificação por semelhança):
h \;=\; \ell \cdot \frac{H}{D}.
Explicando: a razão entre a altura da imagem h e a altura do objeto H é igual à razão entre a distância do ecrã ao orifício \ell e a distância do orifício ao objeto D. Isso vem de triângulos semelhantes: os ângulos nos vértices coincidem e as razões de lados correspondentes são iguais.

Passo 3

Escrever as equações para os dois estados observados usando a fórmula.
Estado inicial (imagem de 0,10\\ \text{m}):
0,10 \;=\; \ell \cdot \frac{H}{D}.
Estado após aproximar a câmara em 15\\ \text{m} (distância do objeto passa a ser D-15; imagem 0,15\\ \text{m}):
0,15 \;=\; \ell \cdot \frac{H}{D-15}.
Observação: aqui converti 10\\ \text{cm} e 15\\ \text{cm} para metros como 0,10 e 0,15.

Passo 4

Eliminar incógnitas que não interessam e montar equação para D.
As duas equações têm o mesmo produto \ell H no numerador do lado direito. Dividindo a segunda equação pela primeira cancelo \ell H:
\frac{0,15}{0,10} \;=\; \frac{\ell \dfrac{H}{D-15}}{\ell \dfrac{H}{D}} \;=\; \frac{D}{D-15}.
Calcule a razão à esquerda:
\frac{0,15}{0,10} \;=\; 1,5.
Então obtenho:
1,5 \;=\; \frac{D}{D-15}.

Passo 5

Resolver a equação para D passo a passo.
Multiplico ambos os lados por D-15:
1,5(D-15) \;=\; D.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
1,5D - 22,5 \;=\; D.
Passo todos os termos em D para um lado:
1,5D - D \;=\; 22,5.
Logo
0,5D \;=\; 22,5.
Dividindo:
D \;=\; \frac{22,5}{0,5} \;=\; 45.
Portanto a distância inicial D é 45\\ \text{m}.

Passo 6

Resposta à parte (b): interpretação física e justificativa com a fórmula.
A relação de semelhança já dada diz:
h \;=\; \ell \cdot \frac{H}{D}.
Se mantemos D e H constantes (ou seja, o orifício permanece à mesma distância da árvore e a árvore não muda de tamanho), então a altura da imagem h é diretamente proporcional a \ell. Isso significa que:
  • Diminuindo o comprimento da câmara \ell, a altura da imagem h diminui proporcionalmente. Em palavras: a imagem fica menor.
  • A imagem continua invertida (isso é característica do orifício) e a mudança é só na escala (magnificação m=\dfrac{h}{H}=\dfrac{\ell}{D}).
    Justificativa: vem diretamente da proporcionalidade obtida por semelhança de triângulos; a magnificação é m=\dfrac{\ell}{D}, então reduzir \ell reduz m e, consequentemente, h.

Resposta

(a) 45\\ \text{m}
(b) A imagem fica menor: a altura da imagem h é proporcional ao comprimento da câmara \ell ( h=\ell\frac{H}{D}), logo reduzir \ell reduz h proporcionalmente; a imagem permanece invertida.

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