Uma câmara escura de orifício reproduz uma imagem de 10 cm de altura de uma árvore observada. Se reduzirmos em 15 m a distância horizontal da câmara à árvore, essa imagem passa a ter altura de 15 cm . a) Qual é a distância horizontal inicial da árvore à câmara? b) Ao se diminuir o comprimento da câmara, porém mantendo seu orifício à mesma distância da árvore, o que ocorre com a imagem formada? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá uma câmara escura de orifício que forma uma imagem de uma árvore. As informações e perguntas são:
- A altura da imagem inicial é
(peguei do enunciado). - Ao reduzir-se em
a distância horizontal da câmara até a árvore, a nova altura da imagem passa a ser (peguei do enunciado). - Pergunta (a): qual é a distância horizontal inicial da árvore até a câmara? (vou chamar essa distância de
.) - Pergunta (b): se diminuirmos o comprimento da câmara (distância do orifício até o ecrã), mantendo o orifício à mesma distância da árvore, o que ocorre com a imagem formada? Justificar.
Não começo a resolver aqui; só organizei os dados e as incógnitas.
Passo 2
Modelo físico-matemático e ideia-chave (aula rápida e prática).
Num orifício simples a formação da imagem obedece a triângulos semelhantes: a árvore (objeto) e a sua imagem projetada no ecrã formam triângulos com vértice no orifício. Seja:
Num orifício simples a formação da imagem obedece a triângulos semelhantes: a árvore (objeto) e a sua imagem projetada no ecrã formam triângulos com vértice no orifício. Seja:
Pela semelhança de triângulos obtemos a relação de proporcionalidade (magnificação por semelhança):
Explicando: a razão entre a altura da imagem
e a altura do objeto
é igual à razão entre a distância do ecrã ao orifício
e a distância do orifício ao objeto
. Isso vem de triângulos semelhantes: os ângulos nos vértices coincidem e as razões de lados correspondentes são iguais.
Passo 3
Escrever as equações para os dois estados observados usando a fórmula.
Estado inicial (imagem de ):
Estado inicial (imagem de
Estado após aproximar a câmara em
(distância do objeto passa a ser
; imagem
):
Observação: aqui converti
e
para metros como
e
.
Passo 4
Eliminar incógnitas que não interessam e montar equação para
.
As duas equações têm o mesmo produto no numerador do lado direito. Dividindo a segunda equação pela primeira cancelo
:
As duas equações têm o mesmo produto
Calcule a razão à esquerda:
Então obtenho:
Passo 5
Resolver a equação para
passo a passo.
Multiplico ambos os lados por :
Multiplico ambos os lados por
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Passo todos os termos em
para um lado:
Logo
Dividindo:
Portanto a distância inicial
é
.
Passo 6
Resposta à parte (b): interpretação física e justificativa com a fórmula.
A relação de semelhança já dada diz:
A relação de semelhança já dada diz:
Se mantemos
e
constantes (ou seja, o orifício permanece à mesma distância da árvore e a árvore não muda de tamanho), então a altura da imagem
é diretamente proporcional a
. Isso significa que:
- Diminuindo o comprimento da câmara
, a altura da imagem diminui proporcionalmente. Em palavras: a imagem fica menor. - A imagem continua invertida (isso é característica do orifício) e a mudança é só na escala (magnificação
).
Justificativa: vem diretamente da proporcionalidade obtida por semelhança de triângulos; a magnificação é, então reduzir reduz e, consequentemente, .
Resposta
(a)
(b) A imagem fica menor: a altura da imagem é proporcional ao comprimento da câmara
(
), logo reduzir
reduz
proporcionalmente; a imagem permanece invertida.
(b) A imagem fica menor: a altura da imagem