Uma rede de difração tem fendas com largura 2,0 \mu \mathrm{~m} e separação 6,0 \mu \mathrm{~m}. Para luz de 600 nm , qual a primeira ordem de interferência que é suprimida pelo mínimo da envoltória de difração? A resposta

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
  • Dados fornecidos:
    • largura da fenda (envelope de difração): a=2{,}0\\ \mu\mathrm{m}.
    • separação entre fendas (passo da rede, centro a centro): d=6{,}0\\ \mu\mathrm{m}.
    • comprimento de onda da luz: \lambda=600\\ \mathrm{nm}.
  • O que o enunciado pede:
    • Qual é a primeira ordem de interferência (ou seja, o menor m>0) que é suprimida pelo mínimo da envoltória de difração.

Passo 2

Explicar as fórmulas relevantes (com calma, como numa aulinha rápida).
  • Condição de máximos de interferência (rede de fendas, ângulo \theta medido a partir da normal):
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a separação entre fendas (passo da rede),
  • m é a ordem da máxima de interferência ( m=0,\pm1,\pm2,\dots),
  • \lambda é o comprimento de onda.
  • Condição dos mínimos da difração de uma única fenda (envelope da rede):
a\sin\theta = p\lambda,
onde:
  • a é a largura da fenda,
  • p é um inteiro não nulo que indexa os mínimos da difração ( p=\pm1,\pm2,\dots).
Interpretação física simples: a rede cria picos de interferência em ângulos onde d\sin\theta é múltiplo de \lambda; porém estes picos só aparecem se não estiverem no mesmo ângulo onde a difração da fenda única é nula (ou seja, não coincide com um mínimo daquela envoltória). Se um máximo de interferência coincide com um mínimo de difração, o pico é suprimido.

Passo 3

Derivar a condição para um máximo de interferência ser suprimido por um mínimo de difração.
Se um máximo de ordem m coincide com um mínimo de ordem p, então o mesmo \theta satisfaz as duas equações, logo:
d\sin\theta = m\lambda \quad\text{e}\quad a\sin\theta = p\lambda.
Dividindo a primeira pela segunda:
\frac{d}{a}=\frac{m}{p}.
Isto significa que \dfrac{m}{p} deve ser igual à razão fixa \dfrac{d}{a}. Portanto m deve ser um múltiplo inteiro de \dfrac{d}{a} (ou, equivalentemente, \dfrac{d}{a} deve ser uma razão de inteiros).

Passo 4

Calcular a razão d/a com os números dados (mostrando a conversão de unidades só para conferência).
  • Converter as grandezas para metros (apenas para verificar a consistência):
    • a=2{,}0\\ \mu\mathrm{m}=2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
    • d=6{,}0\\ \mu\mathrm{m}=6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
    • \lambda=600\\ \mathrm{nm}=600\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a razão:
\frac{d}{a}=\frac{6{,}0\times10^{-6}}{2{,}0\times10^{-6}}=3.

Passo 5

Encontrar os inteiros m e p que satisfazem \dfrac{m}{p}=3 e escolher o menor m>0.
A igualdade \dfrac{m}{p}=3 implica m=3p. Para obter o menor m>0, escolhe-se o menor inteiro positivo p=1. Assim
m=3\cdot1=3.
Portanto o menor (primeiro) máximo de interferência que é suprimido corresponde a m=3 (terceira ordem).

Passo 6

Verificação numérica rápida (confirmação prática do resultado).
  • Para m=3:
\sin\theta=\frac{m\lambda}{d}=\frac{3\cdot600\times10^{-9}}{6{,}0\times10^{-6}}=\frac{1800\times10^{-9}}{6{,}0\times10^{-6}}=0{,}3.
  • Para p=1:
\sin\theta=\frac{p\lambda}{a}=\frac{1\cdot600\times10^{-9}}{2{,}0\times10^{-6}}=0{,}3.
As duas expressões dão o mesmo \sin\theta, confirmando que o máximo de ordem m=3 coincide com o primeiro mínimo da difração ( p=1) e, portanto, é suprimido.

Resposta

m=3

Exercícios relacionados