Em uma região costeira, uma corrente marinha transporta sedimentos ao longo do fundo do oceano. A força da corrente que age sobre uma partícula de sedimento em função da posição x (em metros) é modelada por:
F(x)=5+2 sin (pi x4) ( em Newtons )
onde x representa a posição do sedimento ao longo do fundo do mar.
Calcule o trabalho realizado pela corrente ao transportar a partícula do ponto x=0 até x=8.

Passo 1

O exercício pede para encontrar o trabalho realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento, o que envolve o conceito de integral definida de cálculo. Aqui vamos usar o fato de que o trabalho W é dado por W=integralxi^xfF(x),dx.

Passo 2

Expressamos o trabalho como integral da força de 0 até 8 metros. Primeiro montamos a integral:
W=integral0^8F(x),dx=integral0^8l(5+2sinl(tfracpi x4r)r),dx

Passo 3

Separamos a integral em duas partes para facilitar:
W=integral0^85,dx ;+ 2integral0^8sinl(tfracpi x4r),dx

Passo 4

Calculamos cada parte. Para a constante:
integral0^85,dx=5x|0^8=5cdot8-5cdot0=40
Para o termo com seno, lembrando que integralsin(ax),dx=-tfrac1acos(ax):
integral0^8sinl(tfracpi x4r),dx=-tfrac4picosl(tfracpi x4r)|0^8 =-tfrac4pil[cos(2pi)-cos(0)r] =-tfrac4pi(1-1)=0

Passo 5

Somando os resultados das duas integrais:
W=40+2times0=40

Resposta

40 J

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