Uma vazão de 75 \mathrm{~L} / \mathrm{s} está escoando numa curva de 90^{\circ}, diâmetro de 300 mm , posicionada num plano horizontal, onde a carga de pressão é de 40 m . Determine o valor e a direção que atua neste ponto da instalação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Vazão volumétrica Q = 75\\ \mathrm{L/s} = 0{,}075\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Diâmetro da tubulação D = 300\\ \mathrm{mm} = 0{,}300\\ \mathrm{m}.
    • A curva é de 90^\circ no plano horizontal (o escoamento entra numa direção e sai perpendicular a ela).
    • Carga de pressão (carga piezométrica) h_p = 40\\ \mathrm{m}. Isso significa que a pressão absoluta (gauge) no corte é p = \rho g h_p (assumimos fluido incompressível, temperatura constante).
  • O que o problema pede:
    • Determinar o valor (módulo) e a direção da força que atua naquele ponto da instalação (isto é, a força que o fluido exerce sobre a curva / cotovelo).

Passo 2

Converter unidades e calcular a área da seção e a velocidade média.
  • Área da seção interna (círculo) \,A:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}300)^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot0{,}09}{4}=0{,}0706858345\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média V (porque Q=A V):
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}075}{0{,}0706858345}=1{,}06103\\ \mathrm{m/s}.
(Neste ponto: \rho será a densidade da água, que tomamos como \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.)

Passo 3

Calcular a pressão a partir da carga de pressão dada.
  • A carga de pressão h_p relaciona-se com a pressão por
p=\rho g h_p.
Substituindo:
p=1000\cdot9{,}81\cdot40=392400\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Raciocínio físico e equação do momento (controle de volume): quais forças entram?
Explicação didática curta do método: para encontrar a força que o fluido exerce sobre o cotovelo usamos a conservação de quantidade de movimento (momento linear) para um volume de controle que engloba o fluido dentro do cotovelo. As forças externas sobre esse volume são:
  • forças de pressão nas duas secções abertas (entrada e saída);
  • força de reação do tubo sobre o fluido nas paredes (força de parede).
A equação vetorial da quantidade de movimento (estado estacionário, escoamento uniforme nas seções) dá:
\sum \vec{F}_{\text{ext}}=\rho\sum_{\text{sec}} \int \vec{v}(\vec{v}\cdot\vec{n})\,dA.
Aqui \vec{n} é o vetor normal para fora do volume de controle. Após aplicar as direções e uniformidade, obtém-se a forma prática (mostro o passo algébrico a seguir).

Passo 5

Aplicar a equação com contagem de sinais (derivação curta):
  • Adotando eixos: entrada na direção +x, saída na direção +y.
  • Força de pressão sobre o fluido (somando as duas secções, com sinais): \vec{F}_p = pA\,\hat{\imath} - pA\,\hat{\jmath}. (Explicação: no corte de entrada a pressão empurra o fluido para a direita +x; no corte de saída a pressão empurra o fluido para dentro do volume no sentido -y.)
  • Fluxo de momento (lado direito da equação): para velocidades uniformes V em ambas as seções,
\text{momento}=\rho V^{2}A\bigl(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}\bigr).
(Detalhe: no corte de entrada o termo gera -\rho V^{2}A\hat{\imath}, na saída +\rho V^{2}A\hat{\jmath}.)
  • A equação de equilíbrio das forças externas sobre o fluido é:
\vec{F}_p+\vec{F}_{\text{parede}}=\rho V^{2}A\bigl(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}\bigr).
  • Resolvendo para a força da parede sobre o fluido:
\vec{F}_{\text{parede}}=\rho V^{2}A\bigl(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}\bigr)-\bigl(pA\,\hat{\imath}-pA\,\hat{\jmath}\bigr).
Agrupando termos:
\vec{F}_{\text{parede}}=-(\rho V^{2}A+pA)\,\hat{\imath}+(\rho V^{2}A+pA)\,\hat{\jmath}.
  • A força que nos interessa é a força que o fluido exerce sobre o cotovelo (ou seja, sobre a parede). Essa é a força oposta à anterior:
\vec{F}_{\text{fluido sobre cotovelo}}= -\vec{F}_{\text{parede}}=(\rho V^{2}A+pA)\,\hat{\imath}-(\rho V^{2}A+pA)\,\hat{\jmath}.
Observação pedagógica: o termo \rho V^{2}A vem da mudança de quantidade de movimento (momentum) causada pela curvatura do escoamento; o termo pA vem das forças de pressão nas secções. Ambos somam-se (mesmo sinal) em cada componente porque, no equilíbrio, a pressão e a variação de momento contribuem no mesmo sentido para exigir reação do cotovelo.

Passo 6

Calcular numericamente os termos \rho V^{2}A e pA e as componentes da força.
  • Primeiro o termo de momento (mais prático calcular com \rho Q V, já que \rho V^{2}A=\rho Q V):
\rho Q V = 1000\cdot0{,}075\cdot1{,}06103=79{,}58\\ \mathrm{N}.
  • Pressão vezes área:
pA=392400\cdot0{,}0706858345=27741{,}3\\ \mathrm{N}.
  • Soma:
\rho V^{2}A + pA = 79{,}58 + 27741{,}3 = 27820{,}9\\ \mathrm{N}.
  • Componentes da força (conforme a expressão do passo anterior):
F_x=+(\rho V^{2}A+pA)=+27820{,}9\\ \mathrm{N},
F_y=-(\rho V^{2}A+pA)=-27820{,}9\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a força tem componente positiva em x (empurra na direção de entrada) e componente negativa em y (empurra na direção oposta à saída). Numericamente as componentes têm mesma magnitude porque o ângulo é 90^\circ e as pressões/velocidades nas seções foram iguais.

Passo 7

Calcular módulo e direção final da força resultante.
  • Módulo |\vec{F}|:
|\vec{F}|=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}=\sqrt{27820{,}9^{2}+(-27820{,}9)^{2}}=27820{,}9\sqrt{2}=39361{,}8\\ \mathrm{N}.
Arredondando: 39{,}36\\ \mathrm{kN}.
  • Direção: o vetor (F_x,F_y)=(+27820{,}9,-27820{,}9) forma um ângulo de -45^\circ medido a partir do eixo +x (ou seja, 45^\circ abaixo da direção de entrada, apontando para a bissetriz entre +x e -y). Em palavras: aponta na direção da interseção entre o sentido de entrada e o sentido oposto à saída, com inclinação de 45^\circ em relação à direção de entrada (no sentido horário).

Passo 8

Resumo final (rápido reforço): a maior contribuição vem da pressão (termo pA), o termo de momento \rho Q V é pequeno aqui. O resultado dá a força que o fluido aplica ao cotovelo; o suporte deve resistir a essa força resultante.

Resposta

39{,}36\\ \mathrm{kN}
Direção: 45^\circ abaixo do eixo de entrada (isto é, ângulo de -45^\circ a partir de +x, com componentes F_x=+27820{,}9\\ \mathrm{N}, F_y=-27820{,}9\\ \mathrm{N}).

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