Uma vazão de
está escoando numa curva de
, diâmetro de 300 mm , posicionada num plano horizontal, onde a carga de pressão é de 40 m . Determine o valor e a direção que atua neste ponto da instalação.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (pegos do enunciado):
- Vazão volumétrica
. - Diâmetro da tubulação
. - A curva é de
no plano horizontal (o escoamento entra numa direção e sai perpendicular a ela). - Carga de pressão (carga piezométrica)
. Isso significa que a pressão absoluta (gauge) no corte é (assumimos fluido incompressível, temperatura constante).
- Vazão volumétrica
- O que o problema pede:
- Determinar o valor (módulo) e a direção da força que atua naquele ponto da instalação (isto é, a força que o fluido exerce sobre a curva / cotovelo).
Passo 2
Converter unidades e calcular a área da seção e a velocidade média.
- Área da seção interna (círculo)
:
- Velocidade média
(porque ):
(Neste ponto:
será a densidade da água, que tomamos como
, e
.)
Passo 3
Calcular a pressão a partir da carga de pressão dada.
- A carga de pressão
relaciona-se com a pressão por
Substituindo:
Passo 4
Raciocínio físico e equação do momento (controle de volume): quais forças entram?
Explicação didática curta do método: para encontrar a força que o fluido exerce sobre o cotovelo usamos a conservação de quantidade de movimento (momento linear) para um volume de controle que engloba o fluido dentro do cotovelo. As forças externas sobre esse volume são:
- forças de pressão nas duas secções abertas (entrada e saída);
- força de reação do tubo sobre o fluido nas paredes (força de parede).
A equação vetorial da quantidade de movimento (estado estacionário, escoamento uniforme nas seções) dá:
Aqui
é o vetor normal para fora do volume de controle. Após aplicar as direções e uniformidade, obtém-se a forma prática (mostro o passo algébrico a seguir).
Passo 5
Aplicar a equação com contagem de sinais (derivação curta):
- Adotando eixos: entrada na direção
, saída na direção . - Força de pressão sobre o fluido (somando as duas secções, com sinais):
. (Explicação: no corte de entrada a pressão empurra o fluido para a direita ; no corte de saída a pressão empurra o fluido para dentro do volume no sentido .) - Fluxo de momento (lado direito da equação): para velocidades uniformes
em ambas as seções,
(Detalhe: no corte de entrada o termo gera
, na saída
.)
- A equação de equilíbrio das forças externas sobre o fluido é:
- Resolvendo para a força da parede sobre o fluido:
Agrupando termos:
- A força que nos interessa é a força que o fluido exerce sobre o cotovelo (ou seja, sobre a parede). Essa é a força oposta à anterior:
Observação pedagógica: o termo
vem da mudança de quantidade de movimento (momentum) causada pela curvatura do escoamento; o termo
vem das forças de pressão nas secções. Ambos somam-se (mesmo sinal) em cada componente porque, no equilíbrio, a pressão e a variação de momento contribuem no mesmo sentido para exigir reação do cotovelo.
Passo 6
Calcular numericamente os termos
e
e as componentes da força.
- Primeiro o termo de momento (mais prático calcular com
, já que ):
- Pressão vezes área:
- Soma:
- Componentes da força (conforme a expressão do passo anterior):
Interpretação: a força tem componente positiva em
(empurra na direção de entrada) e componente negativa em
(empurra na direção oposta à saída). Numericamente as componentes têm mesma magnitude porque o ângulo é
e as pressões/velocidades nas seções foram iguais.
Passo 7
Calcular módulo e direção final da força resultante.
- Módulo
:
Arredondando:
.
- Direção: o vetor
forma um ângulo de medido a partir do eixo (ou seja, abaixo da direção de entrada, apontando para a bissetriz entre e ). Em palavras: aponta na direção da interseção entre o sentido de entrada e o sentido oposto à saída, com inclinação de em relação à direção de entrada (no sentido horário).
Passo 8
Resumo final (rápido reforço): a maior contribuição vem da pressão (termo
), o termo de momento
é pequeno aqui. O resultado dá a força que o fluido aplica ao cotovelo; o suporte deve resistir a essa força resultante.
Resposta
Direção: