Uma tubulação horizontal, sem inclinação, de diâmetro interno igual a 50 mm transporta água com uma vazão de 3,5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Entre dois pontos conhecidos, pontos (1) e (2), ocorre a perda de energia (perda de carga) de 4,1 \mathrm{kPa}. Sabendo que a pressão em (1) é de 230 kPa , qual a pressão em (2)? Além disso, calcule a velocidade da água nesta tubulação? (Considere \gamma_{\text {água }}=9.810 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}á )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a pressão no ponto (2).
  • Calcular a velocidade da água na tubulação.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Vazão volumétrica: \displaystyle Q = 3,5\\ \mathrm{L/s} = 0,0035\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Diâmetro interno da tubulação: \displaystyle d = 50\\ \mathrm{mm} = 0,05\\ \mathrm{m}.
  • Perda de carga (entre 1 e 2), expressa em unidades de pressão: \displaystyle \Delta p_{\text{perda}} = 4,1\\ \mathrm{kPa} = 4100\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão no ponto (1): \displaystyle p_1 = 230\\ \mathrm{kPa} = 230000\\ \mathrm{Pa}.
  • Peso específico da água: \displaystyle \gamma_{\text{água}} = 9810\\ \mathrm{N/m^3}.á
Observação importante (já usada para resolver): a tubulação é horizontal e de mesma seção entre os pontos (1) e (2), portanto a elevação é a mesma ( z_1=z_2) e a velocidade é a mesma ( v_1=v_2). Isso simplifica bastante as contas.

Passo 2

Ideia física e equação que vamos usar (explicando cada termo):
Usamos a forma em “carga” da equação de energia (Bernoulli com perda de carga). Em termos de cabeça (altura equivalente de energia) ela é:
\frac{p}{\gamma} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{const} - h_L,
onde:
  • \displaystyle p é a pressão (Pa),
  • \displaystyle \gamma é o peso específico (N/m^3),
  • \displaystyle v é a velocidade do fluido (m/s),
  • \displaystyle g é a aceleração da gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • \displaystyle z é a cota (m),
  • \displaystyle h_L é a perda de carga em metros de coluna de fluido (m).
Relação entre perda expressa em pressão e em cabeça:
h_L = \frac{\Delta p_{\text{perda}}}{\gamma}.
Se a perda foi dada diretamente em kPa (unidade de pressão), podemos trabalhar subtraindo essa pressão de p_1 — vou mostrar as duas formas (em pressão e em cabeça) para ficar bem claro.

Passo 3

Simplificação da equação para este problema:
  • Como a tubulação é horizontal: z_1=z_2 (os termos de elevação se cancelam).
  • Como a seção é constante: v_1=v_2 (os termos cinéticos v^2/(2g) se cancelam).
Assim a equação reduz-se a:
\frac{p_1}{\gamma} = \frac{p_2}{\gamma} + h_L.
Multiplicando por \gamma:
p_1 = p_2 + \gamma\,h_L.
Mas, como \gamma\,h_L é exatamente a perda de pressão \Delta p_{\text{perda}}, temos de forma direta:
p_2 = p_1 - \Delta p_{\text{perda}}.
Ou, se preferir ver em cabeça: calcule h_L=\dfrac{\Delta p_{\text{perda}}}{\gamma} e use p_2 = p_1 - \gamma h_L (mesma coisa numericamente).

Passo 4

Cálculo da velocidade da água na tubulação (passo a passo):
Área da seção transversal (círculo) é
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Substituindo d=0,05\\ \mathrm{m}:
d^2 = (0,05)^2 = 0,0025, \qquad A = \frac{\pi \cdot 0,0025}{4} = \pi\cdot 0,000625 \approx 0,0019635\\ \mathrm{m^2}.
Agora a velocidade média é
v = \frac{Q}{A} = \frac{0,0035}{0,0019635}\\ \mathrm{m/s}.
Fazendo a divisão:
v \approx 1,783\\ \mathrm{m/s}.
Para arredondar de forma prática na prova, pode-se usar v \approx 1,78\\ \mathrm{m/s}.
(Sugestão amigável: um jeito rápido de estimar sem calculadora é notar que A\approx 1,96\times10^{-3} e Q=3,5\times10^{-3}, então v\approx 3,5/1,96\approx 1,78.)

Passo 5

Cálculo da pressão em (2):
Usando a forma direta (perda dada em pressão):
p_2 = p_1 - \Delta p_{\text{perda}}.
Substituindo números:
p_2 = 230000\\ \mathrm{Pa} - 4100\\ \mathrm{Pa} = 225900\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para kPa:
p_2 = 225,9\\ \mathrm{kPa}.
Verificação alternativa (usando cabeça): calcule a perda em metros:
h_L = \frac{4100}{9810} \approx 0,418\\ \mathrm{m}.
Então \gamma h_L = 9810\cdot 0,418 \approx 4100\\ \mathrm{Pa}, recuperando a mesma subtração, logo o resultado é consistente.

Resposta

p_2 = 225,9\\ \mathrm{kPa}
v = 1,78\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados