Reduza cada uma das matrizes seguintes à forma escalonada e depois à forma canônica por linhas. Determine o posto de cada uma das matrizes.
(a) \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 9 \\\\ 1 & 5 & 12\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\[6pt] 2 & 4 & 9 \\[6pt] 1 & 5 & 12 \end{pmatrix}
e pede que a reduzamos primeiro à forma escalonada por linhas (row echelon form), depois à forma canônica por linhas (reduced row-echelon form, RREF) e, por fim, que determi­nemos o posto (rank) de A. Para isso vamos usar operações elementares de linha: troca de linhas, multiplicação de uma linha por escalar não nulo e adição de múltiplos de linhas.]

Passo 2

Eliminamos abaixo do pivô a_{11}=1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & 5 \\[4pt] 0 & 4 & 10 \end{pmatrix}.
Em seguida, eliminamos abaixo do pivô 2 na segunda linha:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2
Obtendo a forma escalonada
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para chegar à forma canônica (RREF), fazemos:
  1. Escalamos a segunda linha por \tfrac12:
    R_2 \leftarrow \tfrac12\,R_2, ficando R_2=(0\;1\;\tfrac52).
  2. Eliminamos o 1 em a_{12} usando a nova R_2:
    R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
O resultado é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac12 \\[4pt] 0 & 1 & \tfrac52 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que é a forma canônica por linhas.]

Passo 4

O posto de A é o número de linhas não nulas na forma escalonada, que aqui é 2.

Resposta

Forma escalonada por linhas:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Forma canônica por linhas (RREF):
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac12 \\[4pt] 0 & 1 & \tfrac52 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Posto,: 2.]

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