Reduza cada uma das matrizes seguintes à forma escalonada e depois à forma canônica por linhas. Determine o posto de cada uma das matrizes.
(b) \left[\begin{array}{rrrrr}1 & 2 & -1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 4 & 1 & -2 & 5 \\\\ 3 & 6 & 3 & -7 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para levar a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 & 1\\\\ 2 & 4 & 1 & -2 & 5\\\\ 3 & 6 & 3 & -7 & 7 \end{pmatrix}
à forma escalonada por linhas e depois à forma canônica (RREF), usando eliminação de Gauss, e em seguida determinar o posto (número de pivôs não nulos).

Passo 2

Usamos o pivô \,a_{11}=1 na primeira linha para zerar abaixo:
aplicamos \text{R}_2\leftarrow\text{R}_2-2\,\text{R}_1 e \text{R}_3\leftarrow\text{R}_3-3\,\text{R}_1.
Isso gera
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 3 & -6 & 3\\\\ 0 & 0 & 6 & -13 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora o pivô da segunda linha é \,3 na coluna 3. Usamos \text{R}_3\leftarrow\text{R}_3-2\,\text{R}_2
para zerar abaixo, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 3 & -6 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Temos três pivôs não nulos nas colunas 1, 3 e 4. A matriz já está em forma escalonada por linhas. O posto é o número de pivôs, ou seja,
\text{posto}(A)=3.

Passo 5

Para obter a forma canônica (RREF), normalizamos cada linha-pivô e eliminamos acima desses pivôs:
  1. \text{R}_2\leftarrow\frac{1}{3}\,\text{R}_2 e
    \text{R}_3\leftarrow(-1)\,\text{R}_3 dão
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
  1. Zeramos acima de cada pivô:
    \text{R}_2\leftarrow\text{R}_2+2\,\text{R}_3,
    \text{R}_1\leftarrow\text{R}_1+\text{R}_2,
    \text{R}_1\leftarrow\text{R}_1-2\,\text{R}_3.
    O resultado final é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

Forma escalonada por linhas:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 3 & -6 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}.
Forma canônica por linhas (RREF):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Posto da matriz: 3.

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