Reduza a equação do segundo grau a sua forma canônica, classifique a quádrica Qi e determine seu eixo, para i in1,2,3,4,5, onde:
Q1: x^2+4 y^2-z^2+2 x-8 y-2 z+4=0

Passo 1

O enunciado dá a quádricas
Q1:x^2+4y^2-z^2+2x-8y-2z+4=0
e pede que a reduzamos à forma canônica, classifiquemos o tipo de quádru!lica e indiquemos seu eixo. Para isso vamos completar quadrados em x, y e z.

Passo 2

Agrupamos e completamos quadrados em cada variável:
x^2+2x=(x+1)^2-1,
4y^2-8y=4l(y^2-2yr)=4l((y-1)^2-1r)=4(y-1)^2-4,
-z^2-2z=-l(z^2+2zr)= -l((z+1)^2-1r)=-(z+1)^2+1

Passo 3

Substituindo na equação original:
(x+1)^2-1 ;+;4(y-1)^2-4;-;(z+1)^2+1;+;4=0
Somando as constantes -1-4+1+4=0, fica
(x+1)^2+4(y-1)^2-(z+1)^2=0,
que é exatamente a forma canônica.

Passo 4

Na forma
(x+1)^2+4(y-1)^2-(z+1)^2=0
vemos dois termos positivos e um negativo, sem termo constante à direita. Isso caracteriza um cone elíptico (quádru!lica degenerada, tipo cone) cujo vértice é o centro (x,y,z)=(-1,1,-1).

Passo 5

Para cada valor de (z+1) fixo, a equação
(x+1)^2+4(y-1)^2=(z+1)^2
é uma elipse no plano normal à direção em que (x+1,y-1)=0. Logo o eixo do cone é a reta que passa pelo vértice e mantém x+1=0, y-1=0, ou seja
,x=-1,;y=1,
paralela ao eixo z.

Resposta

Forma canônica:
(x+1)^2+4(y-1)^2-(z+1)^2=0
Classificação: cone elíptico (quádru!lica degenerada).
Eixo: reta x=-1,,y=1, paralela ao eixo z.

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