Reduza a equação do segundo grau a sua forma canônica, classifique a quádrica Qi e determine seu eixo, para i in1,2,3,4,5, onde:
Q2: y^2-2 z^2-2 x+6 y+4 z-1=0

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a quádricas
Q2:y^2-2,z^2-2,x+6,y+4,z-1=0
à forma canônica, identificar seu tipo e determinar seu eixo. Vamos usar a técnica de completar quadrados em y e z.

Passo 2

Agrupamos os termos em y e z e isolamos x:
-2x + y^2 +6y ;-;2z^2 +4z ;-;1 ;=;0
2x ;=; y^2 +6y ;-;2z^2 +4z ;-;1

Passo 3

Completamos o quadrado em y:
y^2 +6y ;=;(y+3)^2 -9

Passo 4

Completamos o quadrado em z:
-2z^2 +4z ;=;-2l(z^2-2zr) =-2l((z-1)^2-1r) =-2(z-1)^2 +2

Passo 5

Substituindo na expressão de 2x e simplificando:
2x = l(y+3r)^2 -9 ;-;2(z-1)^2 +2 ;-;1 = (y+3)^2 -2(z-1)^2 -8
Logo,
2(x+4) = (y+3)^2 -2,(z-1)^2

Passo 6

Reconhecemos essa igualdade como a forma padrão de um parâbolóide hiperbólico, pois há quadrados de sinais opostos e termo linear em x.

Passo 7

Os planos de simetria são y+3=0 e z-1=0. Sua interseção é a reta
(x,y,z)mid y=-3,;z=1,
que é o eixo do parábolóide.

Resposta

Forma canônica:
2(x+4) = (y+3)^2 -2(z-1)^2
Classificação: parábolóide hiperbólico.
Eixo: reta y=-3,;z=1.

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