Considere o ponto P=(1,4,1) e a curva gamma:lx^2+y^24=1 z=2. Determine e classifique a quádrica cêntrica Q, na forma canônica, que contém a curva gamma e passa pelo ponto P. Existe uma quádrica Q^prime não-cêntrica, na forma canônica, tal que gamma subset Q^prime e P in Q^prime ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a curva
gamma: x^2+dfracy^24=1, z=2,
e o ponto P=(1,4,1). Precisamos achar:
  1. Uma quádrica cêntrica em forma canônica que contenha gamma e passe por P, e classificá-la.
  2. Verificar se existe uma quádrica não-cêntrica em forma canônica com as mesmas propriedades.

Passo 2

Para uma quádrica cêntrica alinhada aos eixos, usamos a forma canônica
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
Na interseção com o plano z=2 temos
x^2a^2+y^2b^2+4c^2=1 Longrightarrow x^2a^2(1-4/c^2)+y^2b^2(1-4/c^2)=1
Como essa seção deve ser exatamente x^2+y^2/4=1, igualamos denominadores:
a^2(1-tfrac4c^2)=1, b^2(1-tfrac4c^2)=4
Isto dá
a^2=11-4/c^2, b^2=41-4/c^2

Passo 3

Impondo que P=(1,4,1) satisfaça a quádrica, escrevemos
1a^2+16b^2+1c^2=1
Substituindo 1/a^2=1-4/c^2 e 1/b^2=(1-4/c^2)/4 obtemos
(1-tfrac4c^2)+4(1-tfrac4c^2)+tfrac1c^2=1 ;Longrightarrow; 5-tfrac19c^2=1 ;Longrightarrow; c^2=194
Logo
1-4c^2=1-1619=319,
a^2=13/19=193, b^2=43/19=763
Em forma canônica:
boxedx^219/3+y^276/3+z^219/4=1,
que é um elipsoide (todos os denominadores positivos).

Passo 4

Para uma quádrica não-cêntrica candidata, escolhemos o paraboloide elíptico em forma canônica
z=alpha x^2+beta y^2+gamma
Na curva gamma (onde z=2 e x^2+y^2/4=1) impomos
alpha x^2+beta y^2+gamma=2 Longrightarrow alpha x^2+beta y^2=2-gamma
Para isso reproduzir x^2+y^2/4=1 basta
alpha=2-gamma e beta=(2-gamma)/4.
Em seguida, P=(1,4,1) deve satisfazer
1 = alphacdot1^2 + betacdot4^2 + gamma = (2-gamma) + 4(2-gamma) + gamma =10 -4gamma ;Longrightarrow; gamma=tfrac94
Daí
alpha=2-tfrac94=-tfrac14, beta=-tfrac116
Em forma canônica temos o paraboloide elíptico
boxedz = -14,x^2 ;-;116,y^2 ;+;94,
que contém gamma e passa por P.

Resposta

A quádrica cêntrica é o elipsoide
x^219/3+y^276/3+z^219/4=1
Sim, existe uma quádrica não-cêntrica em forma canônica: o paraboloide elíptico
z = -tfrac14x^2 - tfrac116y^2 + tfrac94,
que satisfaz gammasubsetQ' e PinQ'.

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