Mostre que existe uma única quádrica Q1, na forma canônica, que passa pelo ponto P1=(0,0,1) e contém a curva gamma, e que existe uma única quádrica Q2, na forma canônica, que passa pelo ponto P2=(raiz2, raiz2, 2) e contém a curva beta, onde
gamma:l x^2+y^2=4 z=raiz3 e beta:l x^2+y^2=3 z=raiz3

Passo 1

O enunciado pede para achar duas quadricas em forma canônica que contenham certas curvas circulares planas e passem por pontos dados. O tipo de quadricula que admite seção circular em planos horizontais é o paraboloide de revolução, cuja forma geral, alinhada com o eixo z, é
z = A,(x^2 + y^2) + D,
onde A e D são constantes a determinar.

Passo 2

Para Q1 usamos
z = A,(x^2 + y^2) + D
Como gamma está no plano z=raiz3 e satisfaz x^2+y^2=4, ao substituir na equação da quadricula obtemos
raiz3 = Acdot 4 + D

Passo 3

A quadricula Q1 também deve passar por P1=(0,0,1). Substituindo (x,y,z)=(0,0,1) em
z = A,(x^2 + y^2) + D
1 = Acdot 0 + D Longrightarrow D = 1

Passo 4

Com D=1 o valor de A sai de
raiz3 = 4A + 1 Longrightarrow 4A = raiz3-1 Longrightarrow A = raiz3-14

Passo 5

Logo, em coordenadas canônicas, definindo w = z - 1, a quadricula Q1 fica
w = raiz3-14,(x^2 + y^2),
que é um paraboloide elíptico de revolução único com as propriedades pedidas.

Passo 6

Para Q2 reescrevemos de novo
z = A,(x^2 + y^2) + D
Como beta está em z=raiz3 e x^2+y^2=3, temos
raiz3 = 3A + D

Passo 7

E P2=(raiz2,raiz2,2) exige, pois x^2+y^2=2+2=4,
2 = 4A + D

Passo 8

Subtraindo as duas equações
3A + D = raiz3, 4A + D = 2,
obtém-se
A = 2 - raiz3, D = 2 - 4A = 2 - 4(2-raiz3) = 4raiz3 -6

Passo 9

Em forma canônica, com w = z - (4raiz3-6), a quadricula Q2 fica
w = (2-raiz3),(x^2 + y^2),
um paraboloide elíptico de revolução único que passa por P2 e contém beta.

Resposta

Q1: z - 1 = raiz3-14,(x^2 + y^2)
Q2: z - (4raiz3-6) = (2-raiz3),(x^2 + y^2)

Exercícios relacionados