Mostre que existe uma única quádrica , na forma canônica, que passa pelo ponto e contém a curva , e que existe uma única quádrica , na forma canônica, que passa pelo ponto e contém a curva , onde
Passo 1
O enunciado pede para achar duas quadricas em forma canônica que contenham certas curvas circulares planas e passem por pontos dados. O tipo de quadricula que admite seção circular em planos horizontais é o paraboloide de revolução, cuja forma geral, alinhada com o eixo , é
onde e são constantes a determinar.
Passo 2
Para usamos
Como está no plano e satisfaz , ao substituir na equação da quadricula obtemos
Passo 3
A quadricula também deve passar por . Substituindo em
dá
Passo 4
Com o valor de sai de
Passo 5
Logo, em coordenadas canônicas, definindo , a quadricula fica
que é um paraboloide elíptico de revolução único com as propriedades pedidas.
Passo 6
Para reescrevemos de novo
Como está em e , temos
Passo 7
E exige, pois ,
Passo 8
Subtraindo as duas equações
obtém-se
A = 2 - raiz3, D = 2 - 4A = 2 - 4(2-raiz3) = 4raiz3 -6
Passo 9
Em forma canônica, com w = z - (4raiz3-6), a quadricula Q2 fica
w = (2-raiz3),(x^2 + y^2),
um paraboloide elíptico de revolução único que passa por P2 e contém beta.