Reduza a equação do segundo grau a sua forma canônica, classifique a quádrica Qi e determine seu eixo, para i in1,2,3,4,5, onde:
Q3: z^2+4 x-y+6 z-1=0

Passo 1

O enunciado dá a quadric surface
Q3: z^2 + 4x - y + 6z - 1 = 0
e pede:
– reduzir à forma canônica;
– classificar (tipo de quádricas);
– determinar o eixo de simetria.
Conteúdo: completar quadrado em z, reconhecimento de cilindro parabólico e achar a reta-,eixo.

Passo 2

Primeiro agrupamos os termos em z e completamos o quadrado. Reescrevendo
z^2 + 6z = (z+3)^2 - 9
Substituindo na equação:
(z+3)^2 - 9 + 4x - y - 1 = 0 Longrightarrow (z+3)^2 + 4x - y -10 = 0

Passo 3

Isolamos o lado que vai virar a parábola. De
(z+3)^2 + 4x - y -10 = 0
segue
(z+3)^2 = y - 4x + 10
Agora definimos novas variáveis canônicas:
X = z+3, Y = y - 4x - 10
Em (X,Y) a equação fica
X^2 = Y,
que é a forma canônica de um parábola no plano XY.

Passo 4

Como só há um termo quadrático não nulo ( X^2) e os outros são lineares, Q3 é um cilindro parabólico. Ou seja, para cada valor de (X,Y) que satisfaz X^2=Y, toda a reta de pontos que deixa X e Y constantes e varia na direção “perpendicular” a essas coordenadas está no cilindro.

Passo 5

O vértice da parábola em
Logo a reta,eixo é
de direção (\bigl(1,4,0\bigr)].

Resposta

Forma canônica: X^2 = Y, com X=z+3, Y=y-4x-10.
Classificação: cilindro parabólico.
Eixo de simetria: reta (x,4x+10,-3)mid xinR, direção (1,4,0).

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