Seja a forma bilinear do \mathbb{R}^{2}, dada por f(u, v)=x_{1} y_{1}+x_{1} y_{2}+x_{2} y_{2}-x_{2} y_{1}, onde u=\left(x_{1}, x_{2}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}\right). Calcule sua matriz em relação às bases do \mathbb{R}^{2} :
a) \{(0,1),(1,0)\},
b) \{(1,1),(1,-1)\} e verifique se as matrizes são congruentes.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma bilinear em \mathbb{R}^2
f(u,v)=x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{2}-x_{2}y_{1},
onde u=(x_{1},x_{2}) e v=(y_{1},y_{2}). Pede-se:
  • (a) calcular a matriz de f relativa à base \{(0,1),(1,0)\};
  • (b) calcular a matriz de f relativa à base \{(1,1),(1,-1)\};
  • verificar se as duas matrizes obtidas são congruentes.
Informações relevantes dadas:
  • a expressão explícita de f;
  • as duas bases do \mathbb{R}^{2} cujos vetores são listados acima.

Passo 2

Como representar uma forma bilinear por matriz: se B=\{b_{1},b_{2}\} é uma base, a matriz A_{B} de f na base B tem entradas
(A_{B})_{ij}=f(b_{i},b_{j}),
ou seja, para obter a matriz basta avaliar f em todos os pares (b_{i},b_{j}), i,j\in\{1,2\}. Vou usar exatamente essa definição para calcular cada entrada, mostrando passo a passo como substituir as coordenadas.

Passo 3

Cálculo da matriz em relação à base (a) B_{1}=\{b_{1}=(0,1),\,b_{2}=(1,0)\}.
Avalio f em cada par:
  • f(b_{1},b_{1}): aqui u=(0,1) e v=(0,1). Substituindo (x_{1},x_{2})=(0,1) e (y_{1},y_{2})=(0,1) em f,
f(b_{1},b_{1})=0\cdot0+0\cdot1+1\cdot1-1\cdot0=1.
  • f(b_{1},b_{2}): u=(0,1), v=(1,0). Então
f(b_{1},b_{2})=0\cdot1+0\cdot0+1\cdot0-1\cdot1=-1.
  • f(b_{2},b_{1}): u=(1,0), v=(0,1). Então
f(b_{2},b_{1})=1\cdot0+1\cdot1+0\cdot1-0\cdot0=1.
  • f(b_{2},b_{2}): u=(1,0), v=(1,0). Então
f(b_{2},b_{2})=1\cdot1+1\cdot0+0\cdot0-0\cdot1=1.
Portanto a matriz de f na base B_{1} é
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
onde a posição (i,j) corresponde a f(b_{i},b_{j}).]

Passo 4

Cálculo direto da matriz em relação à base (b) B_{2}=\{c_{1}=(1,1),\,c_{2}=(1,-1)\}.
Avalio f nos pares c_{i},c_{j}:
  • f(c_{1},c_{1}): u=(1,1), v=(1,1). Logo
f(c_{1},c_{1})=1\cdot1+1\cdot1+1\cdot1-1\cdot1=2.
  • f(c_{1},c_{2}): u=(1,1), v=(1,-1). Logo
f(c_{1},c_{2})=1\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot(-1)-1\cdot1= -2.
  • f(c_{2},c_{1}): u=(1,-1), v=(1,1). Logo
f(c_{2},c_{1})=1\cdot1+1\cdot1+(-1)\cdot1-(-1)\cdot1=2.
  • f(c_{2},c_{2}): u=(1,-1), v=(1,-1). Logo
f(c_{2},c_{2})=1\cdot1+1\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)-(-1)\cdot1=2.
Portanto a matriz de f na base B_{2} é
A_{2}=\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Comentário sobre congruência e troca de base (conceito e fórmula): se A_{B} é a matriz de f na base B e A_{C} a matriz na base C, e se S é a matriz de mudança de coordenadas que tem como colunas as coordenadas dos vetores de C escritas na base B, então vale a relação de congruência
A_{C}=S^{T} A_{B} S.
Isto é a definição de matrizes congruentes: existe inversível S tal que uma é obtida da outra por S^{T}(\cdot)S. Vou construir explicitamente S entre as bases usadas e verificar a fórmula, confirmando a congruência.

Passo 6

Construção da matriz de mudança de base S que leva coordenadas em B_{2} para coordenadas em B_{1} (ou seja, colunas de S são as coordenadas dos vetores de B_{2} escritas na base B_{1}).
Base B_{1}=\{b_{1}=(0,1),\,b_{2}=(1,0)\}. Quero escrever c_{1}=(1,1) e c_{2}=(1,-1) em coordenadas relativas a B_{1}. Se c=\alpha b_{1}+\beta b_{2}, então \alpha b_{1}+\beta b_{2}=(\beta,\alpha) porque b_{1}=(0,1), b_{2}=(1,0).
  • Para c_{1}=(1,1) exigimos (\beta,\alpha)=(1,1), logo \alpha=1, \beta=1. Coordenadas de c_{1} em B_{1} são \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • Para c_{2}=(1,-1) exigimos (\beta,\alpha)=(1,-1), logo \alpha=-1, \beta=1. Coordenadas de c_{2} em B_{1} são \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Logo a matriz de mudança de base é
S=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
onde a primeira coluna é a coordenada de c_{1} e a segunda a de c_{2} relativas a B_{1}.]

Passo 7

Verificação explícita da relação de congruência A_{2}=S^{T}A_{1}S. Vou calcular passo a passo.
Primeiro calcule A_{1}S:
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\qquad S=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando colunas:
A_{1}S=\begin{pmatrix} 1\cdot1+(-1)\cdot1 & 1\cdot(-1)+(-1)\cdot1\\[6pt] 1\cdot1+1\cdot1 & 1\cdot(-1)+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}.
Agora calcule S^{T}(A_{1}S). A transposta de S é
S^{T}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando:
S^{T}(A_{1}S)= \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot0+1\cdot2 & 1\cdot(-2)+1\cdot0\\[6pt] -1\cdot0+1\cdot2 & -1\cdot(-2)+1\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}.
O resultado coincide com A_{2} obtida no Passo 4:
S^{T}A_{1}S=\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}=A_{2}.]

Passo 8

Conclusão: as matrizes obtidas correspondem à mesma forma bilinear em bases diferentes e são relacionadas pela transformação de congruência com a matriz de mudança de base S construída. Portanto as matrizes são congruentes.

Resposta

(a) \displaystyle A_{1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\newline
(b) \displaystyle A_{2}=\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}\newline
As matrizes são congruentes (de fato A_{2}=S^{T}A_{1}S com \displaystyle S=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}).]

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