Seja a forma bilinear do
, dada por
, onde
e
. Calcule sua matriz em relação às bases do
:
a)
,
b)
e verifique se as matrizes são congruentes.
a)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá a forma bilinear em
onde
e
. Pede-se:
- (a) calcular a matriz de
relativa à base ; - (b) calcular a matriz de
relativa à base ; - verificar se as duas matrizes obtidas são congruentes.
Informações relevantes dadas:
- a expressão explícita de
; - as duas bases do
cujos vetores são listados acima.
Passo 2
Como representar uma forma bilinear por matriz: se
é uma base, a matriz
de
na base
tem entradas
ou seja, para obter a matriz basta avaliar
em todos os pares
,
. Vou usar exatamente essa definição para calcular cada entrada, mostrando passo a passo como substituir as coordenadas.
Passo 3
Cálculo da matriz em relação à base (a)
.
Avalio
em cada par:
-
: aqui e . Substituindo e em ,
-
: , . Então
-
: , . Então
-
: , . Então
Portanto a matriz de
na base
é
onde a posição
corresponde a
.]
Passo 4
Cálculo direto da matriz em relação à base (b)
.
Avalio
nos pares
:
-
: , . Logo
-
: , . Logo
-
: , . Logo
-
: , . Logo
Portanto a matriz de
na base
é
Passo 5
Comentário sobre congruência e troca de base (conceito e fórmula): se
é a matriz de
na base
e
a matriz na base
, e se
é a matriz de mudança de coordenadas que tem como colunas as coordenadas dos vetores de
escritas na base
, então vale a relação de congruência
Isto é a definição de matrizes congruentes: existe inversível
tal que uma é obtida da outra por
. Vou construir explicitamente
entre as bases usadas e verificar a fórmula, confirmando a congruência.
Passo 6
Construção da matriz de mudança de base
que leva coordenadas em
para coordenadas em
(ou seja, colunas de
são as coordenadas dos vetores de
escritas na base
).
Base
. Quero escrever
e
em coordenadas relativas a
. Se
, então
porque
,
.
-
Para
exigimos , logo , . Coordenadas de em são . -
Para
exigimos , logo , . Coordenadas de em são .
Logo a matriz de mudança de base é
onde a primeira coluna é a coordenada de
e a segunda a de
relativas a
.]
Passo 7
Verificação explícita da relação de congruência
. Vou calcular passo a passo.
Primeiro calcule
:
Multiplicando colunas:
Agora calcule
. A transposta de
é
Multiplicando:
O resultado coincide com
obtida no Passo 4:
Passo 8
Conclusão: as matrizes obtidas correspondem à mesma forma bilinear em bases diferentes e são relacionadas pela transformação de congruência com a matriz de mudança de base
construída. Portanto as matrizes são congruentes.
Resposta
(a)
\newline
(b)
\newline
As matrizes são congruentes (de fato
com
).]