Sejam
e
vetores genéricos do
. Quais das seguintes funções são formas bilineares:
.
Passo 1
O enunciado dá vetores genéricos de
:
-
e .
A função a analisar é
A pergunta clara é: essa função
é uma forma bilinear? (ou seja, é bilinear nas duas coordenadas?)
Passo 2
Vamos lembrar cuidadosamente o que é “forma bilinear” (sem pular etapas).
Definição: uma aplicação
é bilinear se, para quaisquer
e quaisquer escalares
, valem as duas propriedades:
- linearidade no primeiro argumento:
- linearidade no segundo argumento:
Explicando em miúdos: fixando
, a função
deve ser uma função linear (adição e multiplicação por escalar); e fixando
, a função
também deve ser linear.
Um fato útil e rápido para prova: para qualquer forma bilinear
vale necessariamente
para todo
, porque a linearidade aplicada com escalares 0 e 1 força isso. Isso é um teste rápido: se ao avaliar com o vetor zero o resultado não for zero, então não é bilinear.
Passo 3
Olhemos a parte sem o termo constante da função, que é a parte “natural”:
Vou mostrar que
é bilinear (isso ajuda a ver exatamente onde o problema surge). Seja
,
e
. Então
Calculando
obtemos
Distribuindo,
Isso mostra a linearidade no primeiro argumento. A linearidade no segundo argumento é análoga (troca
por
e o raciocínio é idêntico). Portanto
é bilinear. Observação intuitiva:
é o produto interno canônico em
e corresponde à forma matricial
, com
a matriz identidade.
Passo 4
Agora voltemos para
, que é
acrescido de uma constante:
A ideia: aquele
causa problema com a propriedade
. Vamos testar com o vetor zero
:
Mas se
fosse bilinear deveria valer
para todo
. Conclusão imediata:
NÃO é bilinear.
Para reforçar a falha, veja também a aditividade no segundo argumento. Tome
. Então
enquanto
Esses dois resultados diferem por
, então a aditividade falha:
em geral. Portanto, mais uma vez,
não satisfaz a linearidade no segundo argumento.
Passo 5
Resumo didático e dica de prova rápida para a prova: qualquer termo constante (independente de
e
) impede bilinearidade porque uma forma bilinear precisa enviar o par
e
para zero. Assim, na prova, ao ver uma expressão do tipo “parte bilinear + constante”, pode-se já concluir que não é bilinear apenas avaliando no vetor zero.
Força aí — você já identificou a parte bilinear (o produto escalar) e a causa do problema (o
). Isso já é metade da batalha.
Resposta
Não,
não é forma bilinear.