Sejam u=\left(x_{1}, x_{2}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}\right) vetores genéricos do \mathbb{R}^{2}. Quais das seguintes funções são formas bilineares:
f(u, v)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+1.

Passo 1

O enunciado dá vetores genéricos de \mathbb{R}^2:
  • u=(x_{1},x_{2}) e v=(y_{1},y_{2}).
A função a analisar é
f(u,v)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+1.
A pergunta clara é: essa função f é uma forma bilinear? (ou seja, é bilinear nas duas coordenadas?)

Passo 2

Vamos lembrar cuidadosamente o que é “forma bilinear” (sem pular etapas).
Definição: uma aplicação
B: V\times V\to\mathbb{R}
é bilinear se, para quaisquer u,u',v,v'\in V e quaisquer escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
  1. linearidade no primeiro argumento:
B(\alpha u+\beta u',\,v)=\alpha\,B(u,v)+\beta\,B(u',v).
  1. linearidade no segundo argumento:
B(u,\,\alpha v+\beta v')=\alpha\,B(u,v)+\beta\,B(u,v').
Explicando em miúdos: fixando v, a função u\mapsto B(u,v) deve ser uma função linear (adição e multiplicação por escalar); e fixando u, a função v\mapsto B(u,v) também deve ser linear.
Um fato útil e rápido para prova: para qualquer forma bilinear B vale necessariamente
B(\mathbf{0},v)=0\quad\text{e}\quad B(u,\mathbf{0})=0
para todo u,v, porque a linearidade aplicada com escalares 0 e 1 força isso. Isso é um teste rápido: se ao avaliar com o vetor zero o resultado não for zero, então não é bilinear.

Passo 3

Olhemos a parte sem o termo constante da função, que é a parte “natural”:
g(u,v)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}.
Vou mostrar que g é bilinear (isso ajuda a ver exatamente onde o problema surge). Seja u=(x_{1},x_{2}), u'=(x_{1}',x_{2}') e v=(y_{1},y_{2}). Então
\alpha u+\beta u'=(\alpha x_{1}+\beta x_{1}',\,\alpha x_{2}+\beta x_{2}').
Calculando g(\alpha u+\beta u',v) obtemos
g(\alpha u+\beta u',v)=(\alpha x_{1}+\beta x_{1}')y_{1}+(\alpha x_{2}+\beta x_{2}')y_{2}.
Distribuindo,
g(\alpha u+\beta u',v)=\alpha(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})+\beta(x_{1}'y_{1}+x_{2}'y_{2}) =\alpha\,g(u,v)+\beta\,g(u',v).
Isso mostra a linearidade no primeiro argumento. A linearidade no segundo argumento é análoga (troca x por y e o raciocínio é idêntico). Portanto g é bilinear. Observação intuitiva: g é o produto interno canônico em \mathbb{R}^2 e corresponde à forma matricial g(u,v)=u^{T}I v, com I a matriz identidade.

Passo 4

Agora voltemos para f, que é g acrescido de uma constante:
f(u,v)=g(u,v)+1.
A ideia: aquele +1 causa problema com a propriedade B(\mathbf{0},v)=0. Vamos testar com o vetor zero \mathbf{0}=(0,0):
f(\mathbf{0},v)=0\cdot y_{1}+0\cdot y_{2}+1=1.
Mas se f fosse bilinear deveria valer f(\mathbf{0},v)=0 para todo v. Conclusão imediata: f NÃO é bilinear.
Para reforçar a falha, veja também a aditividade no segundo argumento. Tome v,w\in\mathbb{R}^2. Então
f(u,v+w)=g(u,v+w)+1=g(u,v)+g(u,w)+1,
enquanto
f(u,v)+f(u,w)=\big(g(u,v)+1\big)+\big(g(u,w)+1\big)=g(u,v)+g(u,w)+2.
Esses dois resultados diferem por 1, então a aditividade falha: f(u,v+w)\neq f(u,v)+f(u,w) em geral. Portanto, mais uma vez, f não satisfaz a linearidade no segundo argumento.

Passo 5

Resumo didático e dica de prova rápida para a prova: qualquer termo constante (independente de u e v) impede bilinearidade porque uma forma bilinear precisa enviar o par (\mathbf{0},v) e (u,\mathbf{0}) para zero. Assim, na prova, ao ver uma expressão do tipo “parte bilinear + constante”, pode-se já concluir que não é bilinear apenas avaliando no vetor zero.
Força aí — você já identificou a parte bilinear (o produto escalar) e a causa do problema (o +1). Isso já é metade da batalha.

Resposta

Não, f não é forma bilinear.

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